Объясни тему степеней
Кратко: степень — это краткая запись произведения одинаковых множителей:
\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ раз}} \]
Например:
\[ 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16. \]
Здесь \(2\) — основание степени, а \(4\) — показатель степени.
Основные случаи
\[ a^1=a \]
\[ a^0=1 \quad (a\ne0) \]
\[ a^{-n}=\frac1{a^n} \]
Например:
\[ 5^0=1,\qquad 2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18. \]
Правила действий со степенями
- При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
\[ 3^2\cdot3^4=3^6. \]
- При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
\[ \frac{7^5}{7^2}=7^3. \]
- Степень степени: показатели перемножаются:
\[ (a^m)^n=a^{mn} \]
\[ (2^3)^2=2^6=64. \]
- Степень произведения:
\[ (ab)^n=a^n b^n \]
\[ (2\cdot3)^2=2^2\cdot3^2=36. \]
- Степень дроби:
\[ \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n} \]
\[ \left(\frac23\right)^2=\frac49. \]
Важное правило со знаками
Скобки меняют результат:
\[ (-2)^4=16, \]
потому что отрицательное число умножается само на себя четыре раза.
Но:
\[ -2^4=-(2^4)=-16. \]
Сначала выполняется возведение в степень, а затем ставится знак «минус».
Чего нельзя делать
Показатели нельзя складывать при сложении:
\[ 2^2+2^3=4+8=12, \]
а не \(2^5\).
Как проверить себя
Например:
\[ 2^3\cdot2^2=2^{3+2}=2^5=32. \]
Проверим обычным умножением:
\[ (2\cdot2\cdot2)(2\cdot2)=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32. \]
Значит, правило применено верно.
Обсуждение
8 сообщенийКак сокращать степени в дроби и в обычном случае
Степени «сокращают» только при умножении и делении одинаковых оснований.
1. В дроби
Если основания одинаковые, показатели вычитаются:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
Примеры:
\[ \frac{2^7}{2^3}=2^{7-3}=2^4=16; \]
\[ \frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3; \]
\[ \frac{x^3}{x^7}=x^{3-7}=x^{-4}=\frac1{x^4}. \]
Если есть коэффициенты:
\[ \frac{12x^5}{4x^2} =\frac{12}{4}\cdot x^{5-2} =3x^3. \]
2. В обычном выражении
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
Например:
\[ x^3\cdot x^4=x^7. \]
При делении — вычитаются:
\[ x^9:x^2=x^{9-2}=x^7. \]
А в степени степени показатели умножаются:
\[ (x^3)^4=x^{3\cdot4}=x^{12}. \]
Важно
Сокращать можно только множители, а не слагаемые:
\[ \frac{x^3\cdot y}{x}=x^2y. \]
Но так делать нельзя:
\[ \frac{x+3}{x}\ne 3. \]
Если в числителе сумма, сначала нужно разложить её на множители. Например:
\[ \frac{x^2+3x}{x} =\frac{x(x+3)}{x} =x+3. \]
Как сократить например 5²⁵
\[ 5^{25} \]
само по себе сократить нельзя: это одна степень, где \(5\) — основание, а \(25\) — показатель.
Если нужно вычислить:
\[ 5^{25}=298\,023\,223\,876\,953\,125. \]
Сокращение возможно, только если есть другая степень с таким же основанием:
\[ \frac{5^{25}}{5^7}=5^{25-7}=5^{18}. \]
А при умножении:
\[ 5^{25}\cdot5^3=5^{28}. \]
Как сохранить х²⁵
Если ты имел в виду «сократить \(x^{25}\)», то одну степень отдельно сократить нельзя:
\[ x^{25} \]
— это уже краткая запись произведения \(x\), взятого 25 раз.
Сокращение возможно, если есть ещё степень с таким же основанием:
\[ \frac{x^{25}}{x^7}=x^{25-7}=x^{18}, \]
\[ x^{25}\cdot x^3=x^{28}. \]
Пришли полное выражение, где встречается \(x^{25}\), и я покажу, как его сократить.
Как тогда получилось что 25=5²
Потому что:
\[ 5^2=5\cdot5=25. \]
То есть число \(25\) можно представить как \(5^2\). Но важно не путать:
\[ 5^{25}\ne 5^2. \]
В выражении \(5^{25}\) число \(25\) — это показатель степени:
\[ 5^{25}=\underbrace{5\cdot5\cdot\ldots\cdot5}_{25\text{ раз}}. \]
Если заменить \(25\) на равное ему \(5^2\), получится:
\[ 5^{25}=5^{5^2}, \]
а не \(5^2\).
Для \(x^{25}\) можно записать:
\[ x^{25}=x^{5\cdot5}=(x^5)^5. \]
Здесь показатели \(5\) и \(5\) перемножились: \(5\cdot5=25\).
