Как получилось

Да, здесь вершина \((2;-4)\). В предыдущем ответе я ошибся.

Если функция на графике:

\[ y=x^2-4x, \]

то выделим полный квадрат:

\[ y=x^2-4x+4-4=(x-2)^2-4. \]

Как построить график

Функция

\[ y=(x-2)^2-4 \]

получается из графика \(y=x^2\):

• на 2 единицы вправо;
• на 4 единицы вниз.

Поэтому:

• вершина: \((2;-4)\);
• ветви направлены вверх;
• ось симметрии: \(x=2\).

Возьмём несколько точек:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&0&-3&-4&-3&0 \end{array} \]

Отметь точки:

\[ (0;0),\ (1;-3),\ (2;-4),\ (3;-3),\ (4;0), \]

а затем плавно соедини их — получится парабола:

        y
        ↑
    •           •
      \       /
       •     •
         \_/
          (2;-4)
──────────┼────────→ x
        0   2   4

Нули функции — \(x=0\) и \(x=4\), поэтому график пересекает ось \(Ox\) в точках \((0;0)\) и \((4;0)\).

Если ты спрашиваешь, откуда взялась 2, то это \(x\)-координата вершины параболы.

Для функции

\[ y=x^2-4x \]

используем формулу:

\[ x_{\text{в}}=\frac{-b}{2a}, \]

где \(a=1\), \(b=-4\):

\[ x_{\text{в}}=\frac{-(-4)}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2. \]

Теперь подставляем \(x=2\):

\[ y=2^2-4\cdot2=4-8=-4. \]

Поэтому вершина:

\[ \boxed{(2;-4)}. \]

Ещё это видно так:

\[ y=x^2-4x=(x-2)^2-4. \]

Квадрат \((x-2)^2\) равен нулю именно при \(x=2\), поэтому там функция принимает наименьшее значение \(y=-4\).

До \(4\) — это не конец графика. Парабола продолжается вправо и влево бесконечно.

Число \(4\) выбрали потому, что это второй нуль функции:

\[ y=x^2-4x=x(x-4). \]

При \(x=4\):

\[ y=4^2-4\cdot4=16-16=0. \]

Значит, график проходит через точки:

\[ (0;0)\quad\text{и}\quad(4;0). \]

Они симметричны относительно вершины \(x=2\). Для построения достаточно было взять значения от \(0\) до \(4\), но можно взять и дальше:

\[ x=5:\quad y=25-20=5. \]

То есть после точки \((4;0)\) парабола снова поднимается вверх.

84 а) \(\;y=3\sin x-1\)

Область определения: \(x\in\mathbb R\).

Производная:

\[ y'=3\cos x. \]

Промежутки возрастания

\[ \cos x>0 \]

при

\[ \boxed{x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)},\qquad k\in\mathbb Z. \]

Промежутки убывания

\[ \cos x<0 \]

при

\[ \boxed{x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right)},\qquad k\in\mathbb Z. \]

Максимум

\[ \sin x=1 \quad\text{при}\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]

\[ y_{\max}=3\cdot1-1=2. \]

Точки максимума:

\[ \boxed{\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,2\right)}. \]

Минимум

\[ \sin x=-1 \quad\text{при}\quad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k. \]

\[ y_{\min}=3\cdot(-1)-1=-4. \]

Точки минимума:

\[ \boxed{\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi k;\,-4\right)}. \]

где \(k\in\mathbb Z\).

Это продолжение текущей учебной задачи, а не новое задание: на изображении показан тот же график функции

\[ y=3\sin x-1 \]

из упражнения 84а. На графике видны максимум \(2\), минимум \(-4\), период \(2\pi\) и точка \((0;-1)\).

На фото в тетради нарисованы обычные функции \(y=\sin x\) и \(y=\cos x\). У них средняя линия — это ось \(Ox\), то есть \(y=0\), поэтому график её пересекает.

А в задании \(84\text{а}\):

\[ y=3\sin x-1 \]

средняя линия не \(y=0\), а \(y=-1\), потому что график сдвинут вниз на 1.

Отметь основные точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\frac{\pi}{2}&\pi&\frac{3\pi}{2}&2\pi\\ \hline y&-1&2&-1&-4&-1 \end{array} \]

То есть график проходит через:

\[ (0;-1),\quad \left(\frac{\pi}{2};2\right),\quad (\pi;-1),\quad \left(\frac{3\pi}{2};-4\right),\quad (2\pi;-1). \]

Проведи пунктирную горизонтальную линию \(y=-1\). График должен пересекать её при \(x=0,\pi,2\pi\). Именно эту линию нужно считать «серединой», а не ось \(Ox\).

Это не буква «п», а греческая буква \(\pi\) — «пи».

\[ \pi\approx3{,}14 \]

На горизонтальной оси \(x\):

• \(0\) — середина;
• \(\pi\) — точка справа от нуля, примерно \(3{,}14\);
• \(-\pi\) — такая же точка слева от нуля, примерно \(-3{,}14\).

Знак «минус» означает движение влево:

\[ -\pi\approx-3{,}14. \]

Для функции

\[ y=3\sin x-1 \]

получаем:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-\pi&-\frac{\pi}{2}&0&\frac{\pi}{2}&\pi\\ \hline y&-1&-4&-1&2&-1 \end{array} \]

Поэтому график проходит через точки:

\[ (-\pi;-1),\quad \left(-\frac{\pi}{2};-4\right),\quad (0;-1),\quad \left(\frac{\pi}{2};2\right),\quad (\pi;-1). \]

От \(-\pi\) до \(\pi\) график проходит один полный период, потому что длина этого промежутка равна \(2\pi\).

Для функции

\[ y=2\cos x+1 \]

строим график так:

• \(2\) растягивает график \(y=\cos x\) по вертикали;
• \(+1\) поднимает его на 1;
• средняя линия теперь не \(y=0\), а

\[ \boxed{y=1}. \]

Основные точки

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-\pi&-\frac{\pi}{2}&0&\frac{\pi}{2}&\pi\\ \hline y&-1&1&3&1&-1 \end{array} \]

Проверим, например:

\[ y(0)=2\cos0+1=2\cdot1+1=3, \]

\[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) =2\cos\frac{\pi}{2}+1 =2\cdot0+1=1. \]

Отметь точки:

\[ (-\pi;-1),\quad \left(-\frac{\pi}{2};1\right),\quad (0;3),\quad \left(\frac{\pi}{2};1\right),\quad (\pi;-1). \]

Затем соедини их плавной косинусоидой. График проходит через среднюю линию \(y=1\), имеет:

\[ \boxed{y_{\max}=3},\qquad \boxed{y_{\min}=-1}. \]

Период равен \(2\pi\).

Да, для функции
\[ y=2\cos x+1 \] делаем точно так же, как в тетради.

Знаем, что косинус принимает значения от \(-1\) до \(1\):

\[ -1\le \cos x\le 1. \]

Умножаем все части неравенства на \(2\):

\[ -2\le 2\cos x\le 2. \]

Прибавляем к каждой части \(1\):

\[ -2+1\le 2\cos x+1\le 2+1. \]

Получаем:

\[ -1\le 2\cos x+1\le 3. \]

Так как \(y=2\cos x+1\), то:

\[ \boxed{-1\le y\le3}. \]

Значит,

\[ \boxed{y_{\min}=-1},\qquad \boxed{y_{\max}=3}. \]

В примере на фото для функции \(y=3\sin x-1\) внизу должно быть:

\[ -4\le y\le2, \]

потому что \(-3-1=-4\), а не \(-2\).

Вот график функции

\[ y=2\cos x+1. \]

Для построения отметь точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\frac{\pi}{2}&\pi&\frac{3\pi}{2}&2\pi\\ \hline y&3&1&-1&1&3 \end{array} \]

Схематично:

 y
 3 | ●                         ●
   |   \                     /
 2 |     \                 /
 1 |       ●             ●
   |         \         /
 0 |-----------\-----/------------→ x
-1 |             ●
   +--------------------------------
       0     π/2    π    3π/2   2π

Соедини точки плавной волнистой линией, не отрезками.

• Средняя линия: \(y=1\)
• Максимум: \(3\)
• Минимум: \(-1\)
• Период: \(2\pi\)

После \(2\pi\) график повторяется.