Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решим через дискриминант:
\[ x^2-5x+6=0, \] где \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).
\[ D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1. \]
Корни квадратного уравнения:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\pm1}{2}. \]
Отсюда:
\[ x_1=\frac{5+1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{5-1}{2}=2. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба значения подходят. Для подобных уравнений можно искать два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма — \(5\): это \(2\) и \(3\). Поэтому
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Обсуждение
5 сообщенийНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Буква \(x\) там не появляется заново — это неизвестное из исходного уравнения. Запись
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]
означает: «сейчас найдём, чему может быть равно неизвестное \(x\)».
Покажем это на нашем уравнении без готовой формулы:
\[ x^2-5x+6=0. \]
1. Перенесём число \(6\) вправо
\[ x^2-5x=-6. \]
2. Выделим полный квадрат
Половина коэффициента при \(x\) равна
\[ \frac{-5}{2}. \]
Её квадрат:
\[ \left(\frac{-5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}. \]
Прибавим \(\frac{25}{4}\) к обеим частям:
\[ x^2-5x+\frac{25}{4} = -6+\frac{25}{4}. \]
Левая часть превращается в квадрат:
\[ \left(x-\frac52\right)^2=\frac14. \]
3. Извлечём квадратный корень
Если квадрат равен \(\frac14\), то выражение может быть равно и \(\frac12\), и \(-\frac12\):
\[ x-\frac52=\pm\frac12. \]
Знак \(\pm\) означает два варианта:
\[ x-\frac52=\frac12 \quad\text{или}\quad x-\frac52=-\frac12. \]
4. Найдём \(x\)
\[ x=\frac52+\frac12=3, \]
\[ x=\frac52-\frac12=2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=2\ или\ x=3}. \]
То есть \(x\) — это неизвестная величина, а все преобразования нужны, чтобы оставить её одну и узнать её значения.
Ок
Хорошо! Если появятся ещё вопросы по уравнениям — помогу разобраться.
