421 бге
Ответ:
б)
\[
10-2\sqrt{10}=\sqrt{10}\left(\sqrt{10}-2\right).
\]
г)
\[
a-5\sqrt a=\sqrt a\left(\sqrt a-5\right).
\]
е)
\[
\sqrt{3m}+\sqrt{5m}=\sqrt m\left(\sqrt3+\sqrt5\right).
\]
Как раскладывать:
В пункте б представим \(10\) как \(\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}\): \[ 10-2\sqrt{10}=\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}-2\sqrt{10} =\sqrt{10}(\sqrt{10}-2). \]
В пункте г представим \(a\) как \(\sqrt a\cdot\sqrt a\): \[ a-5\sqrt a=\sqrt a\cdot\sqrt a-5\sqrt a =\sqrt a(\sqrt a-5). \]
В пункте е вынесем общий множитель \(\sqrt m\): \[ \sqrt{3m}+\sqrt{5m} =\sqrt3\sqrt m+\sqrt5\sqrt m =\sqrt m(\sqrt3+\sqrt5). \]
Проверка выполняется раскрытием скобок. Здесь \(a\ge 0\), \(m\ge 0\).
Обсуждение
4 сообщения423
423. Сократите дробь
а)
\[
\frac{x^2-2}{x+\sqrt2}
=\frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{x+\sqrt2}
=\boxed{x-\sqrt2}.
\]
б)
\[
\frac{\sqrt5-a}{5-a^2}
=\frac{\sqrt5-a}{(\sqrt5-a)(\sqrt5+a)}
=\boxed{\frac1{\sqrt5+a}}.
\]
в)
\[
\frac{\sqrt x-5}{25-x}
=\frac{\sqrt x-5}{(5-\sqrt x)(5+\sqrt x)}
=\boxed{-\frac1{5+\sqrt x}}.
\]
г)
\[
\frac{\sqrt2+2}{\sqrt2}
=1+\sqrt2
=\boxed{1+\sqrt2}.
\]
д)
\[
\frac{5+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}
=1+\frac{\sqrt{10}}2
=\boxed{\frac{2+\sqrt{10}}2}.
\]
е)
\[
\frac{2\sqrt3-3}{5\sqrt3}
=\frac25-\frac{\sqrt3}{5}
=\boxed{\frac{2-\sqrt3}{5}}.
\]
Для сокращения знаменатели исходных дробей не должны быть равны нулю.
Объясните
Конечно. В № 423 нужно сократить дроби: сначала разложить числитель или знаменатель на множители, а затем сократить одинаковые множители.
а)
\[ \frac{x^2-2}{x+\sqrt2} \]
Представим \(2\) как \((\sqrt2)^2\):
\[ x^2-2=x^2-(\sqrt2)^2. \]
Используем формулу разности квадратов:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]
Тогда
\[ x^2-2=(x-\sqrt2)(x+\sqrt2). \]
Получаем:
\[ \frac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)}{x+\sqrt2} =x-\sqrt2. \]
Ответ: \[ \boxed{x-\sqrt2}. \]
б)
\[ \frac{\sqrt5-a}{5-a^2} \]
Разложим знаменатель:
\[ 5-a^2=(\sqrt5)^2-a^2 =(\sqrt5-a)(\sqrt5+a). \]
Теперь сокращаем общий множитель \(\sqrt5-a\):
\[ \frac{\sqrt5-a}{(\sqrt5-a)(\sqrt5+a)} =\frac1{\sqrt5+a}. \]
Ответ: \[ \boxed{\frac1{\sqrt5+a}}. \]
в)
\[ \frac{\sqrt x-5}{25-x} \]
Знаменатель — разность квадратов:
\[ 25-x=5^2-(\sqrt x)^2 =(5-\sqrt x)(5+\sqrt x). \]
Но
\[ \sqrt x-5=-(5-\sqrt x). \]
Поэтому
\[ \frac{\sqrt x-5}{25-x} = \frac{-(5-\sqrt x)}{(5-\sqrt x)(5+\sqrt x)}. \]
Сокращаем:
\[ \boxed{-\frac1{5+\sqrt x}}. \]
г)
\[ \frac{\sqrt2+2}{\sqrt2} \]
Разделим каждый член числителя на знаменатель:
\[ \frac{\sqrt2}{\sqrt2}+\frac2{\sqrt2} =1+\frac2{\sqrt2}. \]
Так как
\[ \frac2{\sqrt2}=\sqrt2, \]
то
\[ \boxed{1+\sqrt2}. \]
д)
\[ \frac{5+\sqrt{10}}{\sqrt{10}} \]
Разделим числитель на знаменатель:
\[ \frac5{\sqrt{10}}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} =\frac5{\sqrt{10}}+1. \]
Избавимся от корня в знаменателе:
\[ \frac5{\sqrt{10}} =\frac{5\sqrt{10}}{10} =\frac{\sqrt{10}}2. \]
Значит,
\[ 1+\frac{\sqrt{10}}2 =\boxed{\frac{2+\sqrt{10}}2}. \]
е)
\[ \frac{2\sqrt3-3}{5\sqrt3} \]
Разделим числитель на знаменатель:
\[ \frac{2\sqrt3}{5\sqrt3} -\frac3{5\sqrt3} =\frac25-\frac3{5\sqrt3}. \]
Во второй дроби избавимся от корня в знаменателе:
\[ \frac3{5\sqrt3} =\frac{3\sqrt3}{5\cdot3} =\frac{\sqrt3}{5}. \]
Поэтому
\[ \frac25-\frac{\sqrt3}{5} =\boxed{\frac{2-\sqrt3}{5}}. \]
Главное правило: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.
