426 бге
Упрощение выражения
Я проверяю знаменатель и подтверждаю, что он не равен нулю. Для выражения a/(√a + √b) нужно умножить на сопряжённое выражение (√a - √b), в результате чего получится a(√a - √b)/(a - b). Я предполагаю, что a и b неотрицательны и не равны друг другу. Похоже, это выражение нельзя упростить дальше, если нет особых случаев. Если a равно b, исходное выражение не определено. Мне обязательно следует уточнить условия для a и b.
Решение математических выражений
Я сосредоточусь на решении пунктов б, г и е. Мне не нужно решать все пункты; для начала подойдут краткие ответы. Следует использовать принцип умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, поскольку (u+v)(u-v) равно u²-v². Для пункта б знаменатель равен 1 - √2, поэтому я использую сопряжённое выражение 1+√2. Для пункта г это квадратный корень из a минус квадратный корень из b. Наконец, для пункта е я использую сопряжённое выражение 5 - 2√5.
Краткий ответ:
\[ \boxed{\text{б) }-1-\sqrt2} \]
\[ \boxed{\text{г) }\frac{a(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}} \]
\[ \boxed{\text{е) }15-6\sqrt5} \]
Чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем дробь на сопряжённое выражение:
\[ (u+v)(u-v)=u^2-v^2. \]
б)
\[ \frac1{1-\sqrt2}\cdot\frac{1+\sqrt2}{1+\sqrt2} =\frac{1+\sqrt2}{1-2} =-(1+\sqrt2). \]
\[ \boxed{\frac1{1-\sqrt2}=-1-\sqrt2} \]
Проверка:
\[ (-1-\sqrt2)(1-\sqrt2)=1. \]
г)
Сопряжённое к \(\sqrt a+\sqrt b\) выражение — \(\sqrt a-\sqrt b\):
\[ \frac{a}{\sqrt a+\sqrt b}\cdot \frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b} = \frac{a(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\frac{a}{\sqrt a+\sqrt b} =\frac{a(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}} \]
при \(a\ne b\). Действительно,
\[ \frac{a(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}(\sqrt a+\sqrt b)=a. \]
е)
Сопряжённое выражение — \(5-2\sqrt5\):
\[ \frac{15}{2\sqrt5+5}\cdot\frac{5-2\sqrt5}{5-2\sqrt5} = \frac{15(5-2\sqrt5)}{25-20}. \]
\[ =3(5-2\sqrt5)=15-6\sqrt5. \]
\[ \boxed{\frac{15}{2\sqrt5+5}=15-6\sqrt5} \]
Обсуждение
4 сообщенияДолжно быть типо так
Да, нужно оформлять через сопряжённое выражение. Только в первом примере исправь два момента: в числителе будет \(1+\sqrt2\), а в знаменателе — разность квадратов, не сумма.
1) \(\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt2}\)
\[ \frac{1}{1-\sqrt2} = \frac{1(1+\sqrt2)}{(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)} = \frac{1+\sqrt2}{1^2-(\sqrt2)^2} \]
\[ = \frac{1+\sqrt2}{1-2} = \frac{1+\sqrt2}{-1} = \boxed{-1-\sqrt2}. \]
2) \(\displaystyle \frac{a}{\sqrt a+\sqrt b}\)
\[ \frac{a}{\sqrt a+\sqrt b} = \frac{a(\sqrt a-\sqrt b)} {(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)} \]
\[ = \frac{a(\sqrt a-\sqrt b)} {(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2} = \boxed{\frac{a(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}}. \]
3) \(\displaystyle \frac{15}{2\sqrt5+5}\)
\[ \frac{15}{2\sqrt5+5} = \frac{15(5-2\sqrt5)} {(2\sqrt5+5)(5-2\sqrt5)} \]
\[ = \frac{15(5-2\sqrt5)} {5^2-(2\sqrt5)^2} = \frac{15(5-2\sqrt5)}{25-20} \]
\[ = \frac{15(5-2\sqrt5)}5 = 3(5-2\sqrt5) = \boxed{15-6\sqrt5}. \]
Должно быть типо так
Да, понял: нужно расписывать пошагово, как в тетради, через сопряжённое выражение.
б)
\[ \frac{1}{1-\sqrt2} = \frac{1(1+\sqrt2)} {(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)} = \frac{1+\sqrt2} {1^2-(\sqrt2)^2} \]
\[ = \frac{1+\sqrt2}{1-2} = \frac{1+\sqrt2}{-1} = \boxed{-1-\sqrt2}. \]
г)
\[ \frac{a}{\sqrt a+\sqrt b} = \frac{a(\sqrt a-\sqrt b)} {(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)} \]
\[ = \frac{a(\sqrt a-\sqrt b)} {(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2} = \boxed{\frac{a(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b}}. \]
е)
\[ \frac{15}{2\sqrt5+5} = \frac{15(5-2\sqrt5)} {(2\sqrt5+5)(5-2\sqrt5)} \]
\[ = \frac{15(5-2\sqrt5)} {5^2-(2\sqrt5)^2} = \frac{15(5-2\sqrt5)}{25-20} \]
\[ = \frac{15(5-2\sqrt5)}5 = 3(5-2\sqrt5) = \boxed{15-6\sqrt5}. \]
