Реши уравнени 1618. Масса Земли в 81 раз больше массы Луны. Центры планет Земля и Луна находятся на расстоянии приблизи- тельно 60 земных радиусов друг от друга. На каком рас- стоянии от центра Земли должен находиться предмет, что- бы сила притяжения к Земле была равна силе притяжения к Луне?

Дано

\[ M_{\text{З}}=81M_{\text{Л}} \]

\[ d_{\text{ЗЛ}}=60R_{\text{З}} \]

где \(R_{\text{З}}\) — радиус Земли.

Силы притяжения к Земле и Луне равны:

\[ F_{\text{З}}=F_{\text{Л}}. \]

Найти

Расстояние \(x\) от центра Земли до предмета.

Решение

Пусть предмет находится между Землёй и Луной. Тогда расстояние от предмета до Луны равно:

\[ 60R_{\text{З}}-x. \]

По закону всемирного тяготения:

\[ F_{\text{З}}=\frac{GM_{\text{З}}m}{x^2}, \]

\[ F_{\text{Л}}=\frac{GM_{\text{Л}}m}{(60R_{\text{З}}-x)^2}. \]

Так как силы равны, получаем:

\[ \frac{GM_{\text{З}}m}{x^2} = \frac{GM_{\text{Л}}m}{(60R_{\text{З}}-x)^2}. \]

Подставим \(M_{\text{З}}=81M_{\text{Л}}\) и сократим \(G\), \(m\) и \(M_{\text{Л}}\):

\[ \frac{81}{x^2} = \frac{1}{(60R_{\text{З}}-x)^2}. \]

Извлечём квадратный корень:

\[ \frac{9}{x} = \frac{1}{60R_{\text{З}}-x}. \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 9(60R_{\text{З}}-x)=x. \]

\[ 540R_{\text{З}}-9x=x, \]

\[ 10x=540R_{\text{З}}, \]

\[ x=54R_{\text{З}}. \]

Ответ

\[ \boxed{x=54R_{\text{З}}} \]

Предмет должен находиться на расстоянии 54 земных радиуса от центра Земли (то есть в \(6\) земных радиусах от центра Луны).