Помоги решить номера 100 и 102 и объясни Пошагово как их делать
Краткий ответ
№ 100:
а) \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по двум сторонам и углу между ними.
б) \(\boxed{AB=14\text{ см},\ BC=17\text{ см}}\).
№ 102:
Если \(O\) — точка пересечения \(AC\) и \(BD\), то \(\triangle ABC=\triangle CDA\).
№ 100
Дано
\[ BC=AD,\qquad \angle 1=\angle 2. \]
По рисунку:
\[ \angle 1=\angle BCA,\qquad \angle 2=\angle CAD. \]
Доказательство
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(CDA\).
- Сторона \(AC\) — общая:
\[ AC=CA. \]
- По условию:
\[ BC=AD. \]
- Углы между этими сторонами равны:
\[ \angle BCA=\angle CAD. \]
Следовательно,
\[ \triangle ABC=\triangle CDA \]
по первому признаку равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними.
Находим стороны
При соответствии вершин
\[ A\leftrightarrow C,\qquad B\leftrightarrow D,\qquad C\leftrightarrow A \]
получаем:
\[ AB=CD,\qquad BC=DA. \]
Так как \(DC=14\) см и \(AD=17\) см, то
\[ \boxed{AB=14\text{ см}},\qquad \boxed{BC=17\text{ см}}. \]
Проверка: стороны \(AB\) и \(CD\) соответствуют друг другу, а \(BC\) и \(AD\) — друг другу.
№ 102
Пусть \(O\) — точка пересечения отрезков \(AC\) и \(BD\).
Дано
Отрезки делятся точкой пересечения пополам, значит:
\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]
Шаг 1. Докажем равенство маленьких треугольников
Рассмотрим \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\).
- По условию:
\[ AO=OC. \]
- Также:
\[ BO=OD. \]
- Углы \(\angle AOB\) и \(\angle COD\) — вертикальные, поэтому:
\[ \angle AOB=\angle COD. \]
Следовательно,
\[ \triangle AOB=\triangle COD \]
по первому признаку равенства треугольников.
Отсюда:
\[ AB=CD \]
и
\[ \angle BAO=\angle DCO. \]
Шаг 2. Перейдём к большим треугольникам
Так как точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, то
\[ \angle BAO=\angle BAC,\qquad \angle DCO=\angle DCA. \]
Значит,
\[ \angle BAC=\angle DCA. \]
Кроме того,
\[ AC=CA \]
как общая сторона, а ранее мы доказали:
\[ AB=CD. \]
Таким образом, в треугольниках \(ABC\) и \(CDA\):
\[ AB=CD,\qquad AC=CA,\qquad \angle BAC=\angle DCA. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\triangle ABC=\triangle CDA} \]
по первому признаку равенства треугольников.
Как действовать в похожих задачах
- Обозначь точку пересечения диагоналей буквой \(O\).
- Запиши равенство половин отрезков.
- Найди вертикальные углы.
- Докажи равенство маленьких треугольников.
- Используй полученные равные стороны или углы для доказательства равенства больших треугольников.
Обсуждение
2 сообщенияЧто из задачи 102 писать в тетради
В тетради можно записать так:
№ 102
Дано:
\(AO=OC,\; BO=OD\), \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).
Доказать:
\(\triangle ABC=\triangle CDA\).
Доказательство:
Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\).
\[ AO=OC,\qquad BO=OD \]
по условию, а
\[ \angle AOB=\angle COD \]
как вертикальные углы.
Следовательно,
\[ \triangle AOB=\triangle COD \]
по двум сторонам и углу между ними. Поэтому
\[ AB=CD,\qquad \angle BAO=\angle DCO. \]
Так как точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, то
\[ \angle BAC=\angle DCA. \]
Кроме того,
\[ AC=CA \]
как общая сторона.
Значит,
\[ \triangle ABC=\triangle CDA \]
по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.
