Алгебра 9

Краткий ответ (действительные корни):

• а) \(x=-3;\ 3\)
• б) \(y=-2;\ -\sqrt2;\ \sqrt2;\ 2\)
• в) \(x=-1;\ -\frac12;\ \frac12;\ 1\)

Решение

Во всех уравнениях есть только чётные степени. Сделаем замену:

\[ t=x^2 \quad \text{или} \quad t=y^2. \]

а) \(x^4-5x^2-36=0\)

\[ t^2-5t-36=0 \]

Разложим на множители:

\[ (t-9)(t+4)=0. \]

\[ t=9 \quad \text{или} \quad t=-4. \]

Так как \(t=x^2\ge 0\), значение \(t=-4\) не подходит.

\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3. \]

б) \(y^4-6y^2+8=0\)

\[ t^2-6t+8=0 \]

\[ (t-2)(t-4)=0. \]

\[ t=2 \quad \text{или} \quad t=4. \]

Тогда:

\[ y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt2, \]

\[ y^2=4 \Rightarrow y=\pm2. \]

в) \(4x^4-5x^2+1=0\)

\[ 4t^2-5t+1=0 \]

\[ (4t-1)(t-1)=0. \]

\[ t=\frac14 \quad \text{или} \quad t=1. \]

Тогда:

\[ x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm\frac12, \]

\[ x^2=1 \Rightarrow x=\pm1. \]

Проверка: подстановка найденных значений даёт ноль во всех трёх уравнениях. Главное правило: после замены \(t=x^2\) не забывай вернуть замену и учитывать, что \(t\ge0\).