Краткий ответ: придаточное обстоятельственное следствия.
Главная часть: Он сразу уснул.
Придаточная часть: так что на мой вопрос я услышал только его ровное дыхание.
Событие во второй части произошло в результате события в первой: он уснул, поэтому в ответ было слышно только дыхание. Союз так что указывает на следствие.
Правильный вариант: придаточное обстоятельственное следствия.
