Реши уравнение 4
Краткий ответ:
\[
x=\frac13 \quad \text{или} \quad x=\frac12.
\]
Решим уравнение: \[ \sqrt{3x^2+5x-1}=3x. \]
Так как квадратный корень неотрицателен, правая часть тоже должна быть неотрицательной: \[ 3x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge 0. \]
Возведём обе части в квадрат: \[ 3x^2+5x-1=9x^2. \]
Перенесём всё в одну сторону: \[ 6x^2-5x+1=0. \]
Разложим на множители: \[ (3x-1)(2x-1)=0. \]
Отсюда: \[ 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13, \] \[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12. \]
- Проверка:
При \(x=\frac13\): \[ \sqrt{3\cdot\frac19+5\cdot\frac13-1} =\sqrt1=1=3\cdot\frac13. \]
При \(x=\frac12\): \[ \sqrt{3\cdot\frac14+5\cdot\frac12-1} =\sqrt{\frac94}=\frac32=3\cdot\frac12. \]
Оба корня подходят: \[ \boxed{x\in\left\{\frac13;\frac12\right\}}. \]
Обсуждение
2 сообщенияРеши уравнение 4 из фотографии
В предыдущем ответе было разобрано не то уравнение. Уравнение №4 на фото:
\[ \sqrt{9-2x}=2\sqrt{4-x}-\sqrt{1-x}. \]
ОДЗ: \[ x\le 1. \]
Положим: \[ t=\sqrt{1-x},\qquad t\ge0. \] Тогда \(x=1-t^2\), и уравнение примет вид: \[ \sqrt{7+2t^2}=2\sqrt{t^2+3}-t. \]
Возведём в квадрат: \[ 7+2t^2=5t^2+12-4t\sqrt{t^2+3}, \] \[ 4t\sqrt{t^2+3}=3t^2+5. \]
Снова возведём в квадрат: \[ 16t^2(t^2+3)=(3t^2+5)^2. \]
Раскроем скобки: \[ 7t^4+18t^2-25=0. \]
Пусть \(y=t^2\). Тогда: \[ 7y^2+18y-25=0. \]
\[ y=\frac{-18\pm32}{14}. \]
Получаем: \[ y=1 \quad \text{или} \quad y=-\frac{25}{7}. \]
Так как \(y=t^2\ge0\), подходит только \(y=1\). Значит, \[ t=1,\qquad x=1-t^2=0. \]
Проверка: \[ \sqrt9=2\sqrt4-\sqrt1,\qquad 3=4-1. \]
\[ \boxed{x=0} \]
