Номер 48

48. Построение графиков

а) \(y=\frac1x,\quad y=\frac1x+2,\quad y=\frac1{x-2}\)

• \(y=\frac1x\) — стандартная гипербола. Асимптоты: \(x=0\), \(y=0\).
• \(y=\frac1x+2\) — график \(y=\frac1x\) сдвинут вверх на 2. Асимптоты: \(x=0\), \(y=2\).
• \(y=\frac1{x-2}\) — график \(y=\frac1x\) сдвинут вправо на 2. Асимптоты: \(x=2\), \(y=0\).

б) \(y=\cos x,\quad y=\cos x-3,\quad y=\cos\left(x+\frac\pi4\right)\)

• \(y=\cos x\) — стандартная косинусоида.
• \(y=\cos x-3\) — косинусоида сдвинута вниз на 3.
  Область значений: \([-4;-2]\).
• \(y=\cos\left(x+\frac\pi4\right)\) — косинусоида сдвинута влево на \(\frac\pi4\).

Основные точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\frac\pi2&\pi&\frac{3\pi}2&2\pi\\ \hline \cos x&1&0&-1&0&1\\ \cos x-3&-2&-3&-4&-3&-2 \end{array} \]

Для \(y=\cos\left(x+\frac\pi4\right)\):

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-\frac\pi4&\frac\pi4&\frac{3\pi}4&\frac{5\pi}4&\frac{7\pi}4\\ \hline y&1&0&-1&0&1 \end{array} \]

в) \(y=-x^2,\quad y=4-x^2,\quad y=-(x-2)^2\)

Все графики — параболы, ветви направлены вниз.

• \(y=-x^2\): вершина \((0;0)\), ось симметрии \(x=0\).
• \(y=4-x^2\): график сдвинут вверх на 4, вершина \((0;4)\).
• \(y=-(x-2)^2\): график сдвинут вправо на 2, вершина \((2;0)\), ось симметрии \(x=2\).

г) \(y=\sin x,\quad y=\sin x+2,\quad y=\sin\left(x+\frac\pi3\right)\)

• \(y=\sin x\) — стандартная синусоида.
• \(y=\sin x+2\) — синусоида сдвинута вверх на 2.
  Область значений: \([1;3]\).
• \(y=\sin\left(x+\frac\pi3\right)\) — синусоида сдвинута влево на \(\frac\pi3\).

Основные точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&\frac\pi2&\pi&\frac{3\pi}2&2\pi\\ \hline \sin x&0&1&0&-1&0\\ \sin x+2&2&3&2&1&2 \end{array} \]

Для \(y=\sin\left(x+\frac\pi3\right)\):

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-\frac\pi3&\frac\pi6&\frac{2\pi}3&\frac{7\pi}6&\frac{5\pi}3\\ \hline y&0&1&0&-1&0 \end{array} \]

По указанным сдвигам и точкам можно построить все графики в одной системе координат.