Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ x\in(-2;-1)\cup(2;+\infty). \]

Решение:

1. Разложим числитель на множители: \[ x^4-x^2-12=(x^2-4)(x^2+3)=(x-2)(x+2)(x^2+3). \]

Знаменатель: \[ x^3+1=(x+1)(x^2-x+1). \]

Тогда \[ \frac{(x-2)(x+2)(x^2+3)} {(x+1)(x^2-x+1)}>0. \]

2. Множители \[ x^2+3>0,\qquad x^2-x+1>0 \] при любом \(x\), поэтому учитываем только: \[ \frac{(x-2)(x+2)}{x+1}>0. \]

Критические точки: \[ x=-2,\quad x=-1,\quad x=2. \] Точка \(x=-1\) исключается из ОДЗ, а точки \(x=-2\) и \(x=2\) не входят, так как неравенство строгое.

3. Определяем знаки на промежутках:

\[ \begin{array}{c|cccc} x&(-\infty;-2)&(-2;-1)&(-1;2)&(2;+\infty)\\ \hline \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+1}&-&+&-&+ \end{array} \]

Положительные значения получаются на промежутках: \[ \boxed{(-2;-1)\cup(2;+\infty)}. \]

Проверка: например, \(x=-1{,}5\) и \(x=3\) подходят, а \(x=-3\) и \(x=0\) — нет.