Реши задание

Краткий ответ:

Дано: \[ x(t)=15+3t+2t^2, \] где \(x\) — в метрах, \(t\) — в секундах.

• а) Движение прямолинейное равноускоренное; скорость увеличивается.
• б) \(x_0=15\ \text{м}\), \(v_0=3\ \text{м/с}\ — в положительном направлении оси \(x\); \(a=4\ \text{м/с}^2\) — туда же.
• в) \(\boxed{v_x(t)=3+4t}\ \text{м/с}\).
• г) \(\boxed{a_x(t)=4}\ \text{м/с}^2\).
• д) График \(v_x(t)\) — прямая, график \(a_x(t)\) — горизонтальная линия.
• е) \(\boxed{x(3)=42\ \text{м}}\).
• ж) \(\boxed{\Delta x=27\ \text{м}}\).
• з) \(\boxed{s=27\ \text{м}}\).

Решение

Сравним уравнение с формулой равноускоренного движения:

\[ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}. \]

Имеем:

\[ x=15+3t+2t^2. \]

Отсюда:

\[ x_0=15\ \text{м},\qquad v_0=3\ \text{м/с}, \]

\[ \frac a2=2 \quad\Rightarrow\quad a=4\ \text{м/с}^2. \]

а) Характер движения

Ускорение постоянно:

\[ a=4\ \text{м/с}^2=\text{const}. \]

Следовательно, движение прямолинейное равноускоренное. Так как \(v_0>0\) и \(a>0\), скорость со временем увеличивается.

в) Скорость

Скорость найдём как производную координаты:

\[ v_x(t)=\frac{dx}{dt}=3+4t. \]

г) Ускорение

\[ a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}=4\ \text{м/с}^2. \]

д) Графики

Для графика скорости:

\[ v_x(t)=3+4t. \]

Это прямая, проходящая через точки:

\[ \begin{array}{c|cccc} t,\ \text{с} & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline v_x,\ \text{м/с} & 3 & 7 & 11 & 15 \end{array} \]

График ускорения:

\[ a_x(t)=4, \]

это горизонтальная прямая на уровне \(4\ \text{м/с}^2\).

е) Координата через \(3\) с

\[ x(3)=15+3\cdot3+2\cdot3^2 \]

\[ x(3)=15+9+18=42\ \text{м}. \]

ж) Перемещение за \(3\) с

\[ \Delta x=x(3)-x(0). \]

\[ \Delta x=42-15=27\ \text{м}. \]

з) Путь за \(3\) с

\[ v(t)=3+4t>0 \]

при \(t\ge 0\), поэтому тело не меняет направления движения. Значит, путь равен модулю перемещения:

\[ s=|\Delta x|=27\ \text{м}. \]

Проверка:

\[ s=v_0t+\frac{at^2}{2} =3\cdot3+\frac{4\cdot9}{2} =9+18=27\ \text{м}. \]