Реши задание на изображении

Краткий ответ

89.
а) \(\displaystyle \frac16\), \(y\ne-1\);
б) \(\displaystyle -\frac1{12}\), \(y\ne1\).

90.
а) \(\displaystyle \frac{a+x}{x}\), \(x\ne0,\ x\ne a\);
б) \(\displaystyle \frac{2y-b}{y}\), \(y\ne0,\ y\ne\frac b2\).

89. Докажем независимость от \(y\)

а)

\[ \frac{5y+3}{2y+2}-\frac{7y+4}{3y+3} = \frac{5y+3}{2(y+1)}-\frac{7y+4}{3(y+1)}. \]

Общий знаменатель — \(6(y+1)\):

\[ \frac{3(5y+3)-2(7y+4)}{6(y+1)} = \frac{15y+9-14y-8}{6(y+1)} = \frac{y+1}{6(y+1)} = \frac16. \]

Ограничение: \(y\ne-1\). Получился постоянный результат, значит выражение не зависит от \(y\).

б)

\[ \frac{11y+13}{3y-3}+\frac{15y+17}{4-4y} = \frac{11y+13}{3(y-1)}+\frac{15y+17}{-4(y-1)}. \]

\[ \frac{4(11y+13)-3(15y+17)}{12(y-1)} = \frac{44y+52-45y-51}{12(y-1)} = \frac{1-y}{12(y-1)} = -\frac1{12}. \]

Ограничение: \(y\ne1\).

90. Выполним действия

а)

\[ \frac{a^2}{ax-x^2}+\frac{x}{x-a} = \frac{a^2}{x(a-x)}+\frac{x}{x-a}. \]

Так как \(a-x=-(x-a)\), то

\[ -\frac{a^2}{x(x-a)}+\frac{x^2}{x(x-a)} = \frac{x^2-a^2}{x(x-a)}. \]

Разложим разность квадратов:

\[ \frac{(x-a)(x+a)}{x(x-a)} = \frac{x+a}{x}. \]

Ограничения: \(x\ne0,\ x\ne a\).

б)

\[ \frac{b^2-4by}{2y^2-by}-\frac{4y}{b-2y} = \frac{b(b-4y)}{y(2y-b)}+\frac{4y}{2y-b}. \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{b(b-4y)+4y^2}{y(2y-b)} = \frac{b^2-4by+4y^2}{y(2y-b)} = \frac{(b-2y)^2}{y(2y-b)}. \]

Поскольку \((b-2y)^2=(2y-b)^2\), получаем

\[ \frac{(2y-b)^2}{y(2y-b)} = \frac{2y-b}{y}. \]

Ограничения: \(y\ne0,\ y\ne\frac b2\).

Проверка: сокращение множителей выполнено только при условиях, когда эти множители не равны нулю.