Контрольная работа по теме: умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональных дробей в степень

Конечно. Вот краткая шпаргалка по теме.

1. Умножение рациональных дробей

\[ \frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}, \qquad B\ne0,\ D\ne0. \]

Перед умножением удобно разложить выражения на множители и сократить.

Пример:

\[ \frac{3x}{4y}\cdot\frac{8y^2}{9x^2} =\frac{24xy^2}{36x^2y} =\frac{2y}{3x}. \]

Ограничения:

\[ x\ne0,\qquad y\ne0. \]

2. Деление рациональных дробей

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную:

\[ \frac{A}{B}:\frac{C}{D} =\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C} =\frac{AD}{BC}. \]

Пример:

\[ \frac{5a}{6b}:\frac{10a^2}{9b^2} =\frac{5a}{6b}\cdot\frac{9b^2}{10a^2} =\frac{3b}{4a}. \]

Ограничения:

\[ a\ne0,\qquad b\ne0. \]

Важно: делитель не может быть равен нулю.

3. Возведение рациональной дроби в степень

\[ \left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}, \qquad B\ne0. \]

Пример:

\[ \left(-\frac{2x}{3y}\right)^3 =-\frac{8x^3}{27y^3}. \]

При чётной степени знак «минус» исчезает:

\[ \left(-\frac{3m}{2n}\right)^2 =\frac{9m^2}{4n^2}. \]

Главное правило сокращения

Сокращать можно только множители, но не слагаемые:

\[ \frac{6x}{9x^2}=\frac{2}{3x}, \]

а выражение

\[ \frac{x+2}{x} \]

сократить нельзя.

Тренировка

1. \[ \frac{7a}{12b}\cdot\frac{18b^2}{21a^2} \]

2. \[ \frac{4x^2}{15y}:\frac{8x}{25y^2} \]

3. \[ \left(-\frac{3m}{2n}\right)^2 \]

Ответы:

1. \(\displaystyle \frac{b}{2a}\)

2. \(\displaystyle \frac{5xy}{6}\)

3. \(\displaystyle \frac{9m^2}{4n^2}\)

Понял. Тебе нужен готовый вариант контрольной работы с заданиями, ответами или полными решениями?

Что подготовить: вариант контрольной, ответы или полные решения?

Так как примеров нет, вот тренировочный вариант контрольной работы с полными решениями.

1. Умножение дробей

\[ \frac{6a}{5b}\cdot\frac{15b^2}{8a^2} \]

Перемножим числители и знаменатели:

\[ \frac{6a\cdot15b^2}{5b\cdot8a^2}. \]

Сократим:

\[ \frac{90ab^2}{40a^2b} =\frac{9b}{4a}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{9b}{4a}},\qquad a\ne0,\ b\ne0. \]

---

2. Умножение дробей с разложением на множители

\[ \frac{x^2-9}{4x^2}\cdot\frac{2x}{x+3} \]

Разложим разность квадратов:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Тогда:

\[ \frac{(x-3)(x+3)}{4x^2}\cdot\frac{2x}{x+3}. \]

Сократим \(x+3\), \(2x\) и \(4x^2\):

\[ \frac{x-3}{2x}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{x-3}{2x}},\qquad x\ne0,\ x\ne-3. \]

---

3. Деление рациональных дробей

\[ \frac{m^2-16}{3m}:\frac{m-4}{6} \]

Заменим деление умножением на обратную дробь:

\[ \frac{m^2-16}{3m}\cdot\frac{6}{m-4}. \]

Разложим разность квадратов:

\[ m^2-16=(m-4)(m+4). \]

Получаем:

\[ \frac{(m-4)(m+4)}{3m}\cdot\frac{6}{m-4}. \]

Сократим \(m-4\) и \(6:3\):

\[ \frac{2(m+4)}{m}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{2(m+4)}{m}},\qquad m\ne0,\ m\ne4. \]

---

4. Деление дробей

\[ \frac{2y}{y^2-25}:\frac{4}{y+5} \]

Разложим знаменатель:

\[ y^2-25=(y-5)(y+5). \]

Заменим деление умножением:

\[ \frac{2y}{(y-5)(y+5)}\cdot\frac{y+5}{4}. \]

Сократим \(y+5\) и \(2:4\):

\[ \frac{y}{2(y-5)}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{y}{2(y-5)}},\qquad y\ne5,\ y\ne-5. \]

---

5. Возведение дроби в степень

\[ \left(-\frac{3p^2}{2q}\right)^2 \]

Возведём в квадрат числитель и знаменатель:

\[ \left(-\frac{3p^2}{2q}\right)^2 =\frac{(-3p^2)^2}{(2q)^2}. \]

Так как степень чётная, знак «минус» исчезает:

\[ \frac{9p^4}{4q^2}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{9p^4}{4q^2}},\qquad q\ne0. \]

---

6. Умножение дробей со степенями

\[ \left(\frac{2x}{3y}\right)^3 \cdot \left(-\frac{3y}{4x}\right)^2 \]

Возведём каждую дробь в степень:

\[ \frac{8x^3}{27y^3}\cdot\frac{9y^2}{16x^2}. \]

Перемножим:

\[ \frac{72x^3y^2}{432x^2y^3}. \]

Сократим:

\[ \frac{x}{6y}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{x}{6y}},\qquad x\ne0,\ y\ne0. \]

---

7. Возведение сокращаемой дроби в степень

\[ \left(\frac{a^2-b^2}{a-b}\right)^2 \]

Разложим числитель:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

Тогда:

\[ \left(\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}\right)^2. \]

Сократим:

\[ (a+b)^2. \]

Ответ:

\[ \boxed{(a+b)^2},\qquad a\ne b. \]

---

8. Деление степени на дробь

\[ \left(\frac{z}{z-1}\right)^2:\frac{z}{z-1} \]

Возведём первую дробь в квадрат:

\[ \frac{z^2}{(z-1)^2}:\frac{z}{z-1}. \]

Заменим деление умножением на обратную дробь:

\[ \frac{z^2}{(z-1)^2}\cdot\frac{z-1}{z}. \]

Сократим:

\[ \frac{z}{z-1}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{z}{z-1}},\qquad z\ne1,\ z\ne0. \]

Основной алгоритм

1. Разложить многочлены на множители.
2. Деление заменить умножением на обратную дробь.
3. Сократить только множители.
4. Записать ограничения на переменные.
5. Проверить полученный ответ.

Понял, я дал не то. Нужны задания именно из твоей контрольной? Пришли её фото или напиши примеры.