В треугольнике A B C ABC. проведены отрезки B M BM к стороне A C AC и A F AF к стороне B C BC. Данные отрезки пересекаются в точке T T. Найди отношение площади четырёхугольника T F C M TFCM к площади треугольника A T B ATB, если A M = C M AM=CM, ∠ C A F = ∠ B A F ∠CAF=∠BAF, A B : A C = 1 : 4 AB:AC=1:4.

Краткий ответ:
\[ \frac{S_{TFCM}}{S_{ATB}}=\frac{14}{5}, \] то есть площади относятся как \(\boxed{14:5}\).

Решение

1. Так как \(AF\) — биссектриса угла \(A\), по теореме о биссектрисе: \[ \frac{BF}{FC}=\frac{AB}{AC}=\frac14. \] Значит, \[ BF:FC=1:4,\qquad \frac{BF}{BC}=\frac15. \]

2. \(M\) — середина \(AC\), поэтому \[ \frac{AM}{AC}=\frac12. \]

3. Определим положение точки \(T\). В координатах относительно вершин \(A,B,C\):

• \(M\) соответствует отношениям \(A:C=1:1\);
• \(F\) соответствует \(B:C=4:1\).

Пересечение \(BM\) и \(AF\) даёт \[ T=(1:4:1), \] поэтому \[ \frac{S_{ATB}}{S_{ABC}}=\frac16. \]

4. Разобьём треугольник \(ABC\) на области: \[ ABC=ATB+ATM+BTF+TFCM. \]

Для треугольника \(ATM\): \[ \frac{S_{ATM}}{S_{ABC}} =\frac{AM}{AC}\cdot\frac{4}{6} =\frac12\cdot\frac46=\frac13. \]

Для треугольника \(BTF\): \[ \frac{S_{BTF}}{S_{ABC}} =\frac{BF}{BC}\cdot\frac16 =\frac15\cdot\frac16=\frac1{30}. \]

Тогда \[ \frac{S_{TFCM}}{S_{ABC}} =1-\frac16-\frac13-\frac1{30} =\frac7{15}. \]

Следовательно, \[ \frac{S_{TFCM}}{S_{ATB}} =\frac{\frac7{15}}{\frac16} =\frac{14}{5}. \]

Проверка: \(\frac{14}{5}>1\), что логично: четырёхугольник \(TFCM\) заметно больше треугольника \(ATB\).