108
Анализ преобразований парабол
Я работаю над построением графиков функций, используя шаблон параболы y = x^2. Сначала я отмечу преобразования для каждой функции:
- y = x^2 + 2 сдвигает график вверх на 2, вершина — (0, 2).
- y = -x^2 - 1 отражает график относительно оси x и сдвигает его вниз; вершина — (0, -1).
- y = (x + 4)^2 сдвигает график влево на 4, вершина — (-4, 0).
- y = -(x - 3)^2 отражает график и сдвигает его вправо; вершина — (3, 0).
Я также могу указать преобразованные точки, чтобы помочь построить графики.
Проверка требований к построению графиков
Я проверяю стандартные точки и сохраняю условие «Используя шаблон...». Возможно, стоит уточнить, что фактического графика нет, но можно указать координаты для его построения. Я проверю, что точки удовлетворяют уравнениям, и подготовлю таблицу. Для y = -x^2 - 1 отражение y = x^2 относительно оси x с последующим сдвигом вниз выполнено корректно. Я также прослежу, чтобы всё было представлено на русском языке, начиная с краткого ответа.
Краткий ответ:
| Функция | Вершина | Ось симметрии | Направление ветвей |
|---|---|---|---|
| \(y=x^2+2\) | \((0;2)\) | \(x=0\) | вверх |
| \(y=-x^2-1\) | \((0;-1)\) | \(x=0\) | вниз |
| \(y=(x+4)^2\) | \((-4;0)\) | \(x=-4\) | вверх |
| \(y=-(x-3)^2\) | \((3;0)\) | \(x=3\) | вниз |
Как получаются графики
Исходный шаблон — парабола \(y=x^2\), её вершина \((0;0)\).
\(y=x^2+2\)
График \(y=x^2\) сдвигаем вверх на \(2\): \[ (0;0)\to(0;2). \] Точки для построения: \((\pm1;3)\), \((\pm2;6)\).\(y=-x^2-1\)
Знак «минус» отражает параболу относительно оси \(Ox\), затем сдвигаем вниз на \(1\): \[ (0;0)\to(0;-1). \] Точки: \((\pm1;-2)\), \((\pm2;-5)\).\(y=(x+4)^2\)
Выражение \(x+4=x-(-4)\) означает сдвиг влево на \(4\): \[ (0;0)\to(-4;0). \] Точки: \((-3;1)\), \((-5;1)\), \((-2;4)\), \((-6;4)\).\(y=-(x-3)^2\)
Сдвигаем параболу вправо на \(3\), а знак «минус» отражает её вниз: \[ (0;0)\to(3;0). \] Точки: \((2;-1)\), \((4;-1)\), \((1;-4)\), \((5;-4)\).
Проверка: координаты вершин находятся из вида \(y=a(x-h)^2+k\): вершина всегда \((h;k)\).
