Выполни задание 1

Краткий ответ

Дана функция: \[ y=x^2+4x-5. \]

Преобразуем: \[ y=(x+2)^2-9. \]

Это парабола с вершиной \(A(-2;-9)\), ветви направлены вверх.

1. Область определения: \[ D(y)=\mathbb R. \]

2. Область значений: \[ E(y)=[-9;+\infty). \]

3. Направление ветвей: вверх.

4. Нули функции: \[ x=-5,\qquad x=1. \]

5. Промежутки знакопостоянства: \[ y>0 \text{ при } x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty); \] \[ y<0 \text{ при } x\in(-5;1). \]

6. Промежутки монотонности:

   • убывает на \((-\infty;-2]\);
   • возрастает на \([-2;+\infty)\).

7. Ось симметрии: \[ x=-2. \]

8. Чётность: функция ни чётная, ни нечётная.

9. Наименьшее значение: \[ y_{\min}=-9 \quad \text{при } x=-2. \] Наибольшего значения нет.

Ключевые шаги

Выделим полный квадрат: \[ x^2+4x-5=x^2+4x+4-9=(x+2)^2-9. \]

Отсюда сразу видны:

• вершина параболы: \((-2;-9)\);
• ось симметрии: \(x=-2\);
• ветви направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный.

Нули найдём разложением на множители: \[ x^2+4x-5=(x+5)(x-1). \] Тогда: \[ x=-5,\qquad x=1. \]

Для построения можно отметить точки: \[ (-5;0),\quad (-4;-5),\quad (-2;-9),\quad (0;-5),\quad (1;0). \] Затем провести через них параболу, симметричную относительно прямой \(x=-2\).

Проверка: при \(x=-2\) \[ y=(-2)^2+4(-2)-5=4-8-5=-9, \] что совпадает с найденным минимумом.