Реши все контрольные вопросы с решением и тд
Краткие ответы
Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел:
\[ \mathbb R=\mathbb Q\cup(\mathbb R\setminus\mathbb Q). \]Рациональные числа можно представить в виде \(\dfrac{m}{n}\), где \(m\) — целое число, \(n\) — натуральное. Иррациональные числа так представить нельзя.
а) Рациональная бесконечная дробь:
\[ 0{,}3333\ldots=\frac13. \] б) Иррациональная бесконечная дробь:
\[ 0{,}101001000100001\ldots \]Арифметическим квадратным корнем из числа \(a\) называют неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\): \[ \sqrt a\geq 0,\qquad (\sqrt a)^2=a. \]
Выражение \(\sqrt a\) имеет смысл при \(a\geq0\).
Для уравнения \(x^2=a\):- если \(a>0\), два корня: \(x=\pm\sqrt a\);
- если \(a=0\), один корень: \(x=0\);
- если \(a<0\), действительных корней нет.
Область определения функции \(y=\sqrt x\): \[ x\geq0,\qquad D(y)=[0;+\infty). \]
График \(y=\sqrt x\) расположен в первой координатной четверти и проходит через начало координат. Он пересекает все указанные прямые:
\[ y=25\colon (625;25); \] \[ y=100\colon (10000;100); \] \[ y=10000\colon (100000000;10000). \]
Объяснение и решение
1–2. Рациональные и иррациональные числа
Рациональные числа можно записать в виде отношения целого числа к натуральному:
\[ \frac{m}{n},\qquad m\in\mathbb Z,\quad n\in\mathbb N. \]
Например:
\[ \frac 12,\quad -\frac73,\quad 5=\frac51. \]
Числа, которые нельзя представить в таком виде, называются иррациональными. Например, \(\sqrt2\), \(\pi\).
Таким образом:
\[ \mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R. \]
3. Бесконечные десятичные дроби
Рациональная бесконечная десятичная дробь является периодической:
\[ 0{,}3333\ldots=0{,}(3)=\frac13. \]
В иррациональной дроби цифры не образуют повторяющегося периода. В дроби
\[ 0{,}101001000100001\ldots \]
количество нулей между единицами постоянно увеличивается, поэтому период отсутствует. Значит, дробь иррациональная.
5. Уравнение \(x^2=a\)
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным:
\[ x^2\geq0. \]
Поэтому при \(a<0\) решений нет. При \(a>0\) числа \(\sqrt a\) и \(-\sqrt a\) имеют одинаковый квадрат:
\[ (\sqrt a)^2=a,\qquad (-\sqrt a)^2=a. \]
7. Пересечения с прямыми
Чтобы найти пересечение с прямой \(y=c\), приравняем:
\[ \sqrt x=c. \]
Возводим обе части в квадрат:
\[ x=c^2. \]
Тогда:
\[ \sqrt x=25\Rightarrow x=25^2=625; \]
\[ \sqrt x=100\Rightarrow x=100^2=10000; \]
\[ \sqrt x=10000\Rightarrow x=10000^2=100000000. \]
Проверка:
\[ \sqrt{625}=25,\qquad \sqrt{10000}=100,\qquad \sqrt{100000000}=10000. \]
