Задание 408

Решение. Пусть \(AB\) и \(CD\) — равные хорды, \(P=AB\cap CD\), а \(O\) — центр окружности. Обозначим через \(l\) прямую, содержащую данный диаметр. Так как \(P\) лежит на диаметре, \(O,P\in l\), то \(l=OP\).

Пусть \(M\) и \(N\) — середины хорд \(AB\) и \(CD\). Радиус, проведённый к середине хорды, перпендикулярен этой хорде:

\[ OM\perp AB,\qquad ON\perp CD. \]

Так как \(AB=CD\), то \(AM=CN\). Кроме того, \(OA=OC\) — радиусы окружности. Поэтому прямоугольные треугольники \(OMA\) и \(ONC\) равны по гипотенузе и катету, значит,

\[ OM=ON. \]

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники \(OMP\) и \(ONP\). У них:

• общая гипотенуза \(OP\);
• равные катеты \(OM=ON\).

Следовательно, эти треугольники равны, поэтому

\[ \angle MPO=\angle OPN. \]

Значит, прямая \(OP\), то есть \(l\), делит угол между хордами пополам. Следовательно, отражение относительно \(l\) переводит хорду \(AB\) в хорду \(CD\). Значит, данные хорды симметричны относительно прямой, содержащей диаметр.