Геометрия · 10 класс Задача №3716706

Аноним

11 октября 2026 14:01 · публичный вопрос

Аноним 11 октября 2026 14:01

Реши задание на изображении

Нейросеть11 октября 2026 14:01

На изображении два варианта по 5 заданий. Какой вариант и номер задания нужно решить?

Обсуждение

6 сообщений

Аноним 11 октября 2026 14:01

2 вариант полностью с дано и рисунком

Нейросеть11 октября 2026 14:01

Пришли, пожалуйста, изображение ещё раз — сейчас оно мне не отображается. Я решу 2-й вариант полностью, с разделом «Дано», рисунками и подробным решением.

Нейросеть

Вариант 2

Схемы условные, не в масштабе.

1

Дано: прямая \(b\) лежит в плоскости \(\alpha\), причём \(a\not\parallel b\).

Нужно определить: следует ли, что \(a\not\parallel\alpha\)?

Контрпример:

\[ \alpha:\ z=0, \]

\[ b:\ (x,y,z)=(t,0,0), \]

\[ a:\ (x,y,z)=(0,t,1). \]

Прямая \(a\) находится над плоскостью \(\alpha\) и имеет направление, параллельное этой плоскости, поэтому

\[ a\parallel\alpha. \]

Но направления прямых \(a\) и \(b\) различны, значит,

\[ a\not\parallel b. \]

Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет, не обязательно. Прямая \(a\) может быть параллельна плоскости \(\alpha\), но не быть параллельной прямой \(b\).

2

Дано:

\(C\) — середина отрезка \(AB\);
\(AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1\);
\(A_1,B_1,C_1\in\alpha\);
\(AB\cap\alpha=\varnothing\);
\(AA_1=18\text{ см}\);
\(BB_1=10\text{ см}\).

Найти: \(CC_1\).

Рисунок:

A ●────── C ●────── B ●
 \        \        \
  \        \        \
 A₁●──────C₁●──────B₁●   α

Так как \(C\) — середина \(AB\), а отрезки \(AA_1\), \(CC_1\), \(BB_1\) параллельны, то \(C_1\) является серединой \(A_1B_1\).

В плоскости, содержащей эти отрезки, получаем трапецию \(AA_1B_1B\). Отрезок \(CC_1\) соединяет середины её боковых сторон, поэтому равен полусумме параллельных сторон:

\[ CC_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}. \]

Подставим значения:

\[ CC_1=\frac{18+10}{2}=\frac{28}{2}=14\text{ см}. \]

Ответ:

\[ \boxed{CC_1=14\text{ см}}. \]

3

Дано:

\(\alpha\parallel\beta\);
\(A,C\in\alpha\);
\(B,D\in\beta\);
\(AB\parallel CD\);
\(AC=7\text{ см}\);
\(CD=4{,}7\text{ см}\).

Найти: \(AB\) и \(BD\).

Рисунок:

α:  A ●────────────● C
       ╲          ╲
        ╲          ╲   AB ∥ CD
β:    B ●────────────● D

Проведём плоскость \(\pi\), содержащую параллельные прямые \(AB\) и \(CD\).

Её пересечения с параллельными плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) — это прямые \(AC\) и \(BD\). Поэтому

\[ AC\parallel BD. \]

В четырёхугольнике \(ABDC\) противоположные стороны попарно параллельны:

\[ AB\parallel CD,\qquad AC\parallel BD. \]

Значит, \(ABDC\) — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны:

\[ AB=CD=4{,}7\text{ см}, \]

\[ BD=AC=7\text{ см}. \]

Ответ:

\[ \boxed{AB=4{,}7\text{ см},\qquad BD=7\text{ см}}. \]

4

Дано:

\(\alpha\parallel\beta\);
\(O\) не принадлежит плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\) и не находится между ними;
первый луч пересекает плоскости в точках \(C_1\) и \(D_1\);
второй луч пересекает их в точках \(C_2\) и \(D_2\);
\(C_1C_2\) на \(5\text{ см}\) меньше \(D_1D_2\);
\(OC_1=4\text{ см}\);
\(C_1D_1=10\text{ см}\).

Схема:

O ─── C₁ ─── D₁   — первый луч
 \ 
  \── C₂ ─── D₂   — второй луч

C₁C₂ ⊂ α,    D₁D₂ ⊂ β

Так как точки \(O,C_1,D_1\) лежат на одном луче,

\[ OD_1=OC_1+C_1D_1=4+10=14\text{ см}. \]

Поскольку \(\alpha\parallel\beta\), то

\[ C_1C_2\parallel D_1D_2. \]

Следовательно, треугольники \(OC_1C_2\) и \(OD_1D_2\) подобны:

\[ \frac{C_1C_2}{D_1D_2} = \frac{OC_1}{OD_1}. \]

Пусть

\[ C_1C_2=x\text{ см}. \]

Тогда

\[ D_1D_2=x+5\text{ см}. \]

Получаем:

\[ \frac{x}{x+5}=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}. \]

Решим уравнение:

\[ 7x=2(x+5), \]

\[ 7x=2x+10, \]

\[ 5x=10, \]

\[ x=2. \]

Ответ:

\[ \boxed{C_1C_2=2\text{ см}}. \]

5

Дано: \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся прямые.

Доказать: все прямые, пересекающие одну из них, например \(a\), и параллельные другой прямой \(b\), лежат в одной плоскости.

Рисунок:

             c ∥ b
            /
a ─────── P──────── Q ─────
                         /
                        l ∥ b

Возьмём одну из рассматриваемых прямых \(c\), которая пересекает прямую \(a\) в точке \(P\) и параллельна прямой \(b\).

Так как прямые \(a\) и \(c\) пересекаются, они определяют единственную плоскость \(\gamma\):

\[ \gamma=(a,c). \]

Рассмотрим любую другую прямую \(l\), которая пересекает \(a\) в точке \(Q\) и параллельна \(b\).

Так как

\[ c\parallel b,\qquad l\parallel b, \]

то

\[ l\parallel c. \]

Точка \(Q\) принадлежит плоскости \(\gamma\), потому что \(Q\in a\), а прямая \(a\subset\gamma\). Через точку \(Q\) в плоскости \(\gamma\) можно провести прямую, параллельную \(c\). Такой прямой является \(l\).

Следовательно,

\[ l\subset\gamma. \]

Так же в плоскости \(\gamma\) лежит любая прямая, пересекающая \(a\) и параллельная \(b\).

Что и требовалось доказать.

Аноним 11 октября 2026 14:07

Нейросеть11 октября 2026 14:07

Это продолжение текущей учебной цели, а не новое задание: изображение досылает условие к уже выбранному 2-му варианту контрольной работы.

Нейросеть

Решение варианта 2

1. Прямая и плоскость

Дано:

\[ b\subset\alpha,\qquad a\not\parallel b. \]

Нужно определить: обязательно ли \(a\not\parallel\alpha\).

Схема контрпримера:

          a  ───────────────────   (a вне α)
          c  ───────────────────   (c ⊂ α, c ∥ a)

          b  ╱                     (b ⊂ α, b не параллельна c)
       ─────────────────────────
                    α

Можно провести прямую \(a\), параллельную некоторой прямой \(c\), лежащей в плоскости \(\alpha\), но не параллельную прямой \(b\).

Тогда

\[ a\parallel\alpha,\qquad a\not\parallel b. \]

Ответ: нет, утверждение неверно.

2. Отрезок и параллельные прямые

Дано:

\[ C\text{ — середина }AB, \]

\[ AA_1\parallel BB_1\parallel CC_1, \]

\[ AA_1=18\text{ см},\qquad BB_1=10\text{ см}, \]

\[ AB\cap\alpha=\varnothing. \]

Найти: \(CC_1\).

Рисунок:

A────────────C────────────B
 \            \            \
  \            \            \
 A₁───────────C₁───────────B₁
              α

Параллельное проектирование сохраняет середину отрезка, поэтому \(C_1\) — середина \(A_1B_1\).

Так как \(AB\) не пересекает плоскость \(\alpha\), точки \(A\) и \(B\) находятся по одну сторону от неё, поэтому длина \(CC_1\) равна среднему арифметическому длин \(AA_1\) и \(BB_1\):

\[ CC_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}. \]

Подставим значения:

\[ CC_1=\frac{18+10}{2}=\frac{28}{2}=14\text{ см}. \]

Ответ:

\[ \boxed{CC_1=14\text{ см}}. \]

3. Параллельные плоскости

Дано:

\[ \alpha\parallel\beta, \]

\[ A,C\in\alpha,\qquad B,D\in\beta, \]

\[ AB\parallel CD, \]

\[ AC=7\text{ см},\qquad CD=4{,}7\text{ см}. \]

Найти: \(AB\) и \(BD\).

Рисунок:

A────────────────B
│                │
│                │
C────────────────D

AB ∥ CD,     AC ∥ BD

Прямые \(AB\) и \(CD\) определяют плоскость \(\gamma\). Она пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(AC\), а плоскость \(\beta\) — по прямой \(BD\).

Так как

\[ \alpha\parallel\beta, \]

то линии их пересечения с плоскостью \(\gamma\) параллельны:

\[ AC\parallel BD. \]

Следовательно, четырёхугольник \(ABDC\) — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны:

\[ AB=CD=4{,}7\text{ см}, \]

\[ BD=AC=7\text{ см}. \]

Ответ:

\[ \boxed{AB=4{,}7\text{ см},\qquad BD=7\text{ см}}. \]

4. Секущие лучи и параллельные плоскости

Дано:

\[ \alpha\parallel\beta, \]

\[ OC_1=4\text{ см},\qquad C_1D_1=10\text{ см}, \]

\[ D_1D_2=C_1C_2+5\text{ см}. \]

Найти: \(C_1C_2\).

Рисунок:

             D₁────────────D₂
            /                /
           /                /
          C₁──────────────C₂
         /                  /
        O

       α — через C₁C₂
       β — через D₁D₂

Так как точка \(O\) не находится между плоскостями, порядок точек на луче:

\[ O,\ C_1,\ D_1. \]

Поэтому

\[ OD_1=OC_1+C_1D_1=4+10=14\text{ см}. \]

В плоскости, проходящей через два луча, отрезки \(C_1C_2\) и \(D_1D_2\) параллельны, так как \(\alpha\parallel\beta\). Поэтому треугольники \(OC_1C_2\) и \(OD_1D_2\) подобны.

Пусть

\[ C_1C_2=x. \]

Тогда

\[ D_1D_2=x+5. \]

Из подобия треугольников:

\[ \frac{D_1D_2}{C_1C_2} = \frac{OD_1}{OC_1}. \]

Получаем:

\[ \frac{x+5}{x}=\frac{14}{4}=\frac72. \]

Решим уравнение:

\[ 2(x+5)=7x, \]

\[ 2x+10=7x, \]

\[ 5x=10, \]

\[ x=2. \]

Ответ:

\[ \boxed{C_1C_2=2\text{ см}}. \]

5. Прямые, параллельные скрещивающейся прямой

Дано: \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся прямые.

Доказать: все прямые, пересекающие \(a\) и параллельные \(b\), лежат в одной плоскости.

Рисунок-схема:

                         b
                        ╱
       π:  ┌────────────────────────┐
           │ a ──────────────────── │
           │   ╱ c                   │
           │    ╱ l₁                 │
           │     ╱ l₂                │
           └────────────────────────┘

          c ∥ l₁ ∥ l₂ ∥ b

Через точку \(A\), принадлежащую прямой \(a\), проведём прямую \(c\), параллельную \(b\):

\[ c\parallel b. \]

Прямые \(a\) и \(c\) пересекаются в точке \(A\), поэтому они определяют некоторую плоскость \(\pi\).

Рассмотрим любую прямую \(l\), которая пересекает \(a\) в точке \(M\) и параллельна \(b\). Тогда

\[ l\parallel b,\qquad c\parallel b, \]

следовательно,

\[ l\parallel c. \]

Точка \(M\) принадлежит прямой \(a\), а значит, и плоскости \(\pi\). Прямая \(c\) также лежит в плоскости \(\pi\). Через точку \(M\) в плоскости \(\pi\) можно провести единственную прямую, параллельную \(c\). Этой прямой является \(l\).

Следовательно,

\[ l\subset\pi. \]

Так как это верно для любой такой прямой \(l\), все они лежат в одной плоскости \(\pi\).

Что и требовалось доказать.

Краткие ответы

Нет.
\(\boxed{14\text{ см}}\).
\(\boxed{AB=4{,}7\text{ см},\ BD=7\text{ см}}\).
\(\boxed{2\text{ см}}\).
Доказано.