Почему у меня ошибки

Кратко: ошибки появились из-за смешения векторов и их длин. При вычитании векторов нужно учитывать направление, а не просто вычитать числа.

1. Почему в №763 неверно получилось \(-2\)

Нельзя писать:

\[ |\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}| =|\overrightarrow{BA}|-|\overrightarrow{BC}| =6-8=-2. \]

Модуль вектора не может быть отрицательным:

\[ |\vec v|\ge 0. \]

Кроме того, модуль разности векторов обычно не равен разности их длин.

Так как \(\angle B=90^\circ\), то

\[ \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{CA}. \]

Значит,

\[ |\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=CA. \]

По теореме Пифагора:

\[ CA=\sqrt{AB^2+BC^2} =\sqrt{6^2+8^2} =\sqrt{100}=10. \]

Правильно:

\[ |\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}|=10. \]

Если второе выражение в задании — сумма, то также:

\[ |\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=10, \]

потому что векторы перпендикулярны.

---

2. Ошибка с направлениями в №762

Помни:

\[ \overrightarrow{AB}\ne\overrightarrow{BA}, \qquad \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}. \]

Для равностороннего треугольника:

\[ \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{CA}. \]

У тебя записано \(\overrightarrow{AC}\). Направление перепутано: \(\overrightarrow{AC}\) идёт из \(A\) в \(C\), а \(\overrightarrow{CA}\) — из \(C\) в \(A\).

Но если требуется только длина, то ответ всё равно численно правильный:

\[ |\overrightarrow{CA}|=a. \]

Во втором пункте:

\[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} =\overrightarrow{CB}. \]

Поэтому

\[ |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=CB=a. \]

---

3. Как правильно строить разность векторов

Главное правило:

\[ \vec b-\vec c=\vec b+(-\vec c). \]

То есть при вычитании:

1. второй вектор разворачиваем в противоположную сторону;
2. складываем векторы «конец к началу»;
3. результирующую стрелку проводим от начала первого вектора к концу последнего.

Если \(\vec b\) и \(\vec c\) начинаются в одной точке, то \(\vec b-\vec c\) — это стрелка от конца \(\vec c\) к концу \(\vec b\).

Также:

\[ \frac12\vec b \]

имеет то же направление, что и \(\vec b\), но в два раза меньшую длину;

\[ 2\vec b \]

имеет то же направление, но в два раза большую длину;

\[ -\vec c \]

имеет ту же длину, что и \(\vec c\), но противоположное направление.

Например, в выражении

\[ 2\vec a+\frac13\vec b-\vec c \]

нужно построить две копии \(\vec a\), затем одну треть \(\vec b\), а вместо \(\vec c\) взять вектор, направленный в обратную сторону.

Быстрая проверка

• модуль не бывает отрицательным;
• стрелки \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\) направлены противоположно;
• при минусе второй вектор разворачивается;
• результат сложения идёт от самого первого начала до самого последнего конца.