Реши задание на изображении

Краткий ответ. На фото читается: в пункте А \(c=45\), в пункте Б \(a=7\).

• А) \(\gamma=105^\circ,\quad a\approx26{,}72,\quad b\approx29{,}95\).
• Б) \(c\approx28{,}02,\quad \alpha\approx11{,}03^\circ,\quad \beta\approx38{,}97^\circ\).
• В) \(\alpha\approx42{,}83^\circ,\quad \beta\approx60{,}94^\circ,\quad \gamma\approx76{,}23^\circ\).

Обозначения: сторона \(a\) лежит напротив угла \(\alpha\), \(b\) — напротив \(\beta\), \(c\) — напротив \(\gamma\).

А) \(\alpha=35^\circ,\ \beta=40^\circ,\ c=45\)

Сначала найдём третий угол:

\[ \gamma=180^\circ-35^\circ-40^\circ=105^\circ. \]

По теореме синусов:

\[ \frac{a}{\sin35^\circ}=\frac{45}{\sin105^\circ}, \]

\[ a=\frac{45\sin35^\circ}{\sin105^\circ}\approx26{,}72. \]

Аналогично:

\[ b=\frac{45\sin40^\circ}{\sin105^\circ}\approx29{,}95. \]

Б) \(a=7,\ b=23,\ \gamma=130^\circ\)

Так как известны две стороны и угол между ними, применяем теорему косинусов:

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma, \]

\[ c^2=7^2+23^2-2\cdot7\cdot23\cos130^\circ, \]

\[ c\approx28{,}02. \]

Теперь по теореме синусов:

\[ \sin\alpha=\frac{a\sin\gamma}{c} =\frac{7\sin130^\circ}{28{,}02}, \]

\[ \alpha\approx11{,}03^\circ. \]

Третий угол:

\[ \beta=180^\circ-130^\circ-11{,}03^\circ \approx38{,}97^\circ. \]

В) \(a=14,\ b=18,\ c=20\)

Применяем теорему косинусов для каждого угла:

\[ \cos\alpha= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} =\frac{18^2+20^2-14^2}{2\cdot18\cdot20} =\frac{11}{15}, \]

\[ \alpha\approx42{,}83^\circ. \]

\[ \cos\beta= \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} =\frac{17}{35}, \]

\[ \beta\approx60{,}94^\circ. \]

\[ \cos\gamma= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} =\frac{5}{21}, \]

\[ \gamma\approx76{,}23^\circ. \]

Проверка: в каждом случае сумма углов равна \(180^\circ\).

Если в пункте А всё-таки написано \(\gamma=45^\circ\), а не \(c=45\), то такого треугольника нет, поскольку \(35^\circ+40^\circ+45^\circ=120^\circ\ne180^\circ\).