номер 14
Краткий ответ:
\[
x\in\{-2;\,-1;\,1\}.
\]
Решение:
Заметим, что \[ x^2+2x+1=(x+1)^2. \]
Тогда: \[ x(x+1)^2=2(x+1). \]
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель: \[ x(x+1)^2-2(x+1)=0, \] \[ (x+1)\bigl(x(x+1)-2\bigr)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1; \]
\[ x(x+1)-2=0, \] \[ x^2+x-2=0, \] \[ (x+2)(x-1)=0. \] Отсюда \[ x=-2 \quad\text{или}\quad x=1. \]
Проверка:
- \(x=-1:\quad 0=0\);
- \(x=-2:\quad -2=-2\);
- \(x=1:\quad 4=4\).
Следовательно, \[ \boxed{x=-2,\,-1,\,1}. \]
Важно: нельзя сразу делить на \(x+1\), иначе можно потерять корень \(x=-1\).
Обсуждение
24 сообщенияНомер 13
Пришли, пожалуйста, фото или текст условия задания № 13 — в чате его нет.
Это продолжение текущей учебной цели: на изображении есть условие № 13, которое ты просил прислать.
№ 13
\[ x^4=(4x-5)^2 \]
Представим левую часть как квадрат:
\[ (x^2)^2=(4x-5)^2. \]
Значит,
\[ x^2=4x-5 \quad\text{или}\quad x^2=-(4x-5). \]
- \[ x^2-4x+5=0. \]
Дискриминант:
\[ D=16-20=-4<0, \]
действительных корней нет.
- \[ x^2+4x-5=0, \]
\[ (x-1)(x+5)=0. \]
Отсюда:
\[ x=1 \quad\text{или}\quad x=-5. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\{-5;\,1\}}. \]
Это продолжение текущей учебной цели, а не новое задание: изображение досылает условие № 13 из той же подборки. Его решение уже приведено выше.
Номер 5 сделать
Пришли фото или текст условия задания № 5 — его не видно в чате.
Номер 5
Номер 5
№ 5
\[ x^2-2x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+8 \]
ОДЗ:
\[ 3-x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le 3. \]
Вычтем \(\sqrt{3-x}\) из обеих частей:
\[ x^2-2x=8, \]
\[ x^2-2x-8=0, \]
\[ (x-4)(x+2)=0. \]
Отсюда:
\[ x=4 \quad\text{или}\quad x=-2. \]
Число \(4\) не входит в ОДЗ, так как \(4>3\). Число \(-2\) подходит.
\[ \boxed{x=-2} \]
№ 5
\[ x^2-2x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+8 \]
ОДЗ:
\[ 3-x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le 3. \]
Сократим одинаковые радикалы:
\[ x^2-2x=8, \]
\[ x^2-2x-8=0, \]
\[ (x-4)(x+2)=0. \]
\[ x=4 \quad\text{или}\quad x=-2. \]
Число \(4\) не подходит, так как \(4>3\). Поэтому
\[ \boxed{x=-2}. \]
Номер 7
№ 7
\[ -3x^2-14x-7=(x-1)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ -3x^2-14x-7=x^2-2x+1. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ -4x^2-12x-8=0. \]
Разделим на \(-4\):
\[ x^2+3x+2=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+1)(x+2)=0. \]
Отсюда:
\[ x=-1 \quad\text{или}\quad x=-2. \]
\[ \boxed{x=-2;\,-1} \]
Номер 8
№ 8
\[ 10x^2-12x+1=-10x^2 \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ 20x^2-12x+1=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=(-12)^2-4\cdot20\cdot1=144-80=64. \]
Тогда
\[ x=\frac{12\pm\sqrt{64}}{40} =\frac{12\pm8}{40}. \]
\[ x_1=\frac{20}{40}=\frac12,\qquad x_2=\frac4{40}=\frac1{10}. \]
\[ \boxed{x=\frac1{10};\ \frac12} \]
Номер 6
№ 6
\[ (2x-2)^2(x-2)=(2x-2)(x-2)^2 \]
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:
\[ (2x-2)(x-2)\bigl((2x-2)-(x-2)\bigr)=0. \]
Упростим скобки:
\[ (2x-2)(x-2)x=0. \]
Произведение равно нулю, если:
\[ 2x-2=0 \Rightarrow x=1, \]
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
\[ x=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\{0;\,1;\,2\}}. \]
Не понимаю
Давай разберём медленно. В задании № 6:
\[ (2x-2)^2(x-2)=(2x-2)(x-2)^2. \]
1. Перенесём всё в левую часть
\[ (2x-2)^2(x-2)-(2x-2)(x-2)^2=0. \]
2. Вынесем общие множители
В обоих слагаемых есть множители \((2x-2)\) и \((x-2)\):
\[ (2x-2)(x-2)\bigl((2x-2)-(x-2)\bigr)=0. \]
Упростим выражение в скобках:
\[ (2x-2)-(x-2)=2x-2-x+2=x. \]
Получаем:
\[ (2x-2)(x-2)x=0. \]
3. Произведение равно нулю
Значит, хотя бы один множитель равен нулю:
\[ 2x-2=0 \Rightarrow x=1, \]
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
\[ x=0. \]
Поэтому ответ:
\[ \boxed{x=0;\ 1;\ 2}. \]
Важно: нельзя было сразу сокращать на \((2x-2)(x-2)\), потому что при \(x=1\) или \(x=2\) этот множитель равен нулю, и можно потерять корни.
2 этап не понятен
Конечно. На 2-м этапе используется вынесение общего множителя.
После переноса получаем:
\[ (2x-2)^2(x-2)-(2x-2)(x-2)^2=0. \]
Раскроем степени как умножение:
\[ (2x-2)(2x-2)(x-2) - (2x-2)(x-2)(x-2)=0. \]
В обоих слагаемых есть общие множители:
\[ (2x-2)(x-2). \]
Выносим их за скобки:
\[ (2x-2)(x-2)\bigl((2x-2)-(x-2)\bigr)=0. \]
Почему внутри скобок именно так?
Из первого слагаемого после вынесения остаётся \(2x-2\), а из второго — \(x-2\), причём перед вторым слагаемым стоит минус.
Это то же правило:
\[ ab-ac=a(b-c). \]
Например:
\[ 3\cdot5-3\cdot2=3(5-2). \]
Дальше:
\[ (2x-2)-(x-2)=x, \]
поэтому
\[ (2x-2)(x-2)x=0. \]
Опять не дошло что делать внутри скобок
Разберём только выражение внутри скобок:
\[ (2x-2)-(x-2). \]
Перед второй скобкой стоит минус, поэтому при раскрытии скобок знаки внутри неё меняются:
\[ (2x-2)-(x-2)=2x-2-x+2. \]
Теперь объединим похожие слагаемые:
\[ 2x-x=x,\qquad -2+2=0. \]
Значит,
\[ (2x-2)-(x-2)=x. \]
Поэтому всё выражение становится:
\[ (2x-2)(x-2)\cdot x=0. \]
Далее каждый множитель приравниваем к нулю:
\[ 2x-2=0,\quad x-2=0,\quad x=0. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x=0;\ 1;\ 2}. \]
