Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(x=0;\ 5\)
2. Решений нет: \(\varnothing\)
3. \(x=-1;\ 1\)
4. \(x=-7;\ 1;\ 2-\sqrt3;\ 2+\sqrt3\)
5. \(x=-3;\ 3\)
6. \(x=-15;\ -\dfrac13\)
7. \(x=\dfrac23;\ 2\)
8. \(x=0\)

Решение

Основные правила:

\[ |A|=b \Longrightarrow A=b \text{ или } A=-b, \]

\[ |A|=|B| \Longrightarrow A=B \text{ или } A=-B. \]

1) \(\left|x^2-5x+4\right|=4\)

\[ x^2-5x+4=4 \]

\[ x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0 \]

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=5. \]

Второй случай:

\[ x^2-5x+4=-4 \]

\[ x^2-5x+8=0. \]

Дискриминант:

\[ D=25-32=-7<0, \]

корней нет.

Ответ: \(\boxed{x=0;\ 5}\).

---

2) \(|2x-1|+4=2x\)

Левая часть не меньше \(4\), значит \(2x\ge4\), то есть \(x\ge2\).

Тогда \(2x-1>0\), поэтому:

\[ 2x-1+4=2x, \]

\[ 3=0, \]

что невозможно.

Ответ: \(\boxed{\varnothing}\).

---

3) \(|2x+1|=|x+2|\)

Первый случай:

\[ 2x+1=x+2 \Rightarrow x=1. \]

Второй случай:

\[ 2x+1=-(x+2) \]

\[ 3x=-3 \Rightarrow x=-1. \]

Ответ: \(\boxed{x=-1;\ 1}\).

---

4) \(|x^2+x-3|=|5x-4|\)

\[ x^2+x-3=5x-4 \]

\[ x^2-4x+1=0 \]

\[ x=2\pm\sqrt3. \]

Или:

\[ x^2+x-3=-(5x-4) \]

\[ x^2+6x-7=0 \]

\[ x=1 \quad \text{или} \quad x=-7. \]

Ответ: \(\boxed{x=-7;\ 1;\ 2-\sqrt3;\ 2+\sqrt3}\).

---

5) \(|x-2|+2|x+1|=9\)

Точки смены знаков: \(x=-1\) и \(x=2\).

• При \(x<-1\):

\[ (2-x)+2(-x-1)=9 \]

\[ -3x=9 \Rightarrow x=-3. \]

Подходит.

• При \(-1\le x<2\):

\[ (2-x)+2(x+1)=9 \]

\[ x+4=9 \Rightarrow x=5. \]

Не подходит для этого промежутка.

• При \(x\ge2\):

\[ (x-2)+2(x+1)=9 \]

\[ 3x=9 \Rightarrow x=3. \]

Подходит.

Ответ: \(\boxed{x=-3;\ 3}\).

---

6) \(|2x+8|-|x-5|=2\)

Точки смены знаков: \(x=-4\) и \(x=5\).

• При \(x<-4\):

\[ (-2x-8)-(5-x)=2 \]

\[ -x-13=2 \Rightarrow x=-15. \]

• При \(-4\le x<5\):

\[ (2x+8)-(5-x)=2 \]

\[ 3x+3=2 \Rightarrow x=-\frac13. \]

• При \(x\ge5\):

\[ (2x+8)-(x-5)=2 \]

\[ x+13=2 \Rightarrow x=-11, \]

но это число не входит в промежуток \(x\ge5\).

Ответ: \(\boxed{x=-15;\ -\dfrac13}\).

---

7) \(|x-1|+|2x-3|=2\)

Точки смены знаков: \(x=1\) и \(x=\dfrac32\).

• При \(x<1\):

\[ (1-x)+(3-2x)=2 \]

\[ 4-3x=2 \Rightarrow x=\frac23. \]

• При \(1\le x<\dfrac32\):

\[ (x-1)+(3-2x)=2 \]

\[ 2-x=2 \Rightarrow x=0, \]

но \(0\) не входит в этот промежуток.

• При \(x\ge\dfrac32\):

\[ (x-1)+(2x-3)=2 \]

\[ 3x-4=2 \Rightarrow x=2. \]

Ответ: \(\boxed{x=\dfrac23;\ 2}\).

---

8) \(|5x-3|-|2x-4|=9x-1\)

Точки смены знаков:

\[ 5x-3=0 \Rightarrow x=\frac35, \qquad 2x-4=0 \Rightarrow x=2. \]

• При \(x<\dfrac35\):

\[ (3-5x)-(4-2x)=9x-1 \]

\[ -1-3x=9x-1 \]

\[ x=0. \]

Подходит.

• При \(\dfrac35\le x<2\):

\[ (5x-3)-(4-2x)=9x-1 \]

\[ 7x-7=9x-1 \]

\[ x=-3, \]

но число не входит в этот промежуток.

• При \(x\ge2\):

\[ (5x-3)-(2x-4)=9x-1 \]

\[ 3x+1=9x-1 \]

\[ x=\frac13, \]

но число не входит в этот промежуток.

Проверка единственного корня:

\[ |5\cdot0-3|-|2\cdot0-4|=3-4=-1, \]

\[ 9\cdot0-1=-1. \]

Ответ: \(\boxed{x=0}\).