Номер 11

Ответ: \[ x_1=-2-\sqrt5,\qquad x_2=-2+\sqrt5. \]

№ 9

\[ \frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0,\qquad x\ne2. \]

Умножим на \((x-2)^2\):

\[ 1-(x-2)-6(x-2)^2=0. \]

Пусть \(t=x-2\). Тогда:

\[ 6t^2+t-1=0. \]

\[ t_1=\frac13,\qquad t_2=-\frac12. \]

Следовательно,

\[ x_1=2+\frac13=\frac73,\qquad x_2=2-\frac12=\frac32. \]

Ответ: \[ \boxed{x=\frac32;\ \frac73}. \]

Разберём № 9 подробно.

Дано уравнение:

\[ \frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0. \]

1. ОДЗ

Знаменатель не должен равняться нулю:

\[ x-2\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne2. \]

2. Избавимся от дробей

Умножим всё уравнение на \((x-2)^2\):

\[ 1-(x-2)-6(x-2)^2=0. \]

Введём замену:

\[ t=x-2. \]

Тогда получаем:

\[ 1-t-6t^2=0. \]

Умножим на \(-1\):

\[ 6t^2+t-1=0. \]

3. Решим квадратное уравнение

Разложим на множители:

\[ 6t^2+t-1=(3t-1)(2t+1). \]

Значит:

\[ (3t-1)(2t+1)=0. \]

Отсюда:

\[ 3t-1=0 \quad\text{или}\quad 2t+1=0. \]

\[ t_1=\frac13,\qquad t_2=-\frac12. \]

4. Вернёмся к \(x\)

Так как \(t=x-2\), то:

\[ x-2=\frac13 \quad\Rightarrow\quad x=\frac73; \]

\[ x-2=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad x=\frac32. \]

Оба значения не равны \(2\), поэтому подходят.

\[ \boxed{x_1=\frac32,\qquad x_2=\frac73} \]

Можно — это правильный способ. Я использовал разложение на множители, потому что оно было короче.

После умножения на \((x-2)^2\):

\[ 1-(x-2)-6(x-2)^2=0. \]

Раскроем скобки:

\[ 1-x+2-6(x^2-4x+4)=0, \]

\[ -6x^2+23x-21=0. \]

Умножим на \(-1\):

\[ 6x^2-23x+21=0. \]

Находим дискриминант:

\[ D=(-23)^2-4\cdot6\cdot21=529-504=25. \]

Тогда

\[ x=\frac{23\pm\sqrt{25}}{2\cdot6} =\frac{23\pm5}{12}. \]

Получаем:

\[ x_1=\frac{23-5}{12}=\frac{18}{12}=\frac32, \]

\[ x_2=\frac{23+5}{12}=\frac{28}{12}=\frac73. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\frac32;\ \frac73} \]

Оба корня допустимы, так как \(x\ne2\).

№ 10

\[ x^6=(6x-5)^3 \]

Представим левую часть как куб:

\[ (x^2)^3=(6x-5)^3. \]

Так как кубы равны, равны и основания:

\[ x^2=6x-5. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ x^2-6x+5=0. \]

Разложим на множители:

\[ (x-1)(x-5)=0. \]

Отсюда:

\[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=5}. \]

№ 4

\[ (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5) \]

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

\[ (x-4)(x-5)\bigl((x-3)-(x-2)\bigr)=0. \]

В скобках:

\[ (x-3)-(x-2)=-1. \]

Получаем:

\[ -(x-4)(x-5)=0. \]

Значит,

\[ x-4=0 \quad \text{или} \quad x-5=0. \]

\[ \boxed{x_1=4,\qquad x_2=5} \]

Не сокращаем сразу на \((x-4)(x-5)\), чтобы не потерять эти корни.

Разберём № 4 подробно.

Дано:

\[ (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5). \]

1. Перенесём всё в левую часть

\[ (x-3)(x-4)(x-5)-(x-2)(x-4)(x-5)=0. \]

2. Вынесем общий множитель

В обоих слагаемых есть множитель \((x-4)(x-5)\):

\[ (x-4)(x-5)\bigl((x-3)-(x-2)\bigr)=0. \]

Упростим выражение в скобках:

\[ (x-3)-(x-2)=x-3-x+2=-1. \]

Получаем:

\[ -1\cdot(x-4)(x-5)=0. \]

Или, после умножения на \(-1\):

\[ (x-4)(x-5)=0. \]

3. Используем правило произведения

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-4=0 \quad\text{или}\quad x-5=0. \]

Отсюда:

\[ x=4 \quad\text{или}\quad x=5. \]

4. Проверка

При \(x=4\) и при \(x=5\) обе части уравнения содержат нулевой множитель, поэтому равны нулю.

\[ \boxed{x_1=4,\qquad x_2=5} \]

Важно: нельзя сразу делить на \((x-4)(x-5)\), иначе можно потерять эти корни.

№ 12

\[ \frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}=1 \]

1. ОДЗ

Знаменатель не равен нулю:

\[ x^2-9\ne0, \]

\[ (x-3)(x+3)\ne0. \]

Значит,

\[ x\ne3,\qquad x\ne-3. \]

2. Решим уравнение

Умножим обе части на \(x^2-9\):

\[ 2x^2+7x+3=x^2-9. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ x^2+7x+12=0. \]

Разложим на множители:

\[ (x+3)(x+4)=0. \]

Отсюда:

\[ x=-3 \quad \text{или} \quad x=-4. \]

Но \(x=-3\) не подходит по ОДЗ.

\[ \boxed{x=-4} \]