107
Решение математической задачи на русском языке
Мне нужно ответить на задачу, представленную пользователю на русском языке, связанную с построением графиков с использованием шаблона параболы \(y=x²\). Конкретный вопрос касается четырёх различных вариантов функций, поэтому я кратко подведу итог, а затем предложу объяснения и шаги для каждого из них.
Я вычислю и опишу необходимые преобразования, включая сдвиги и положения вершин, обеспечивая точность на протяжении всего решения. Мне нужно сосредоточиться на правильности, мысленно поворачивая изображение задачи для уточнения. Это будет краткое, но подробное объяснение!
Объяснение преобразований и точек
Я работаю с точками \((4,1)\), \((6,1)\), \((3,4)\) и \((7,4)\). Мне нужно объяснить сдвиг влево на 3, при котором вершина перемещается в \((-3,0)\), а соответствующие точки изменяются.
Сначала следует дать краткий ответ, а затем, возможно, объяснить общую формулу \(y=a(x-h)²+k\). Если \(a\) положительно, парабола направлена вверх; если отрицательно — вниз.
Я могу упомянуть преобразования и координаты, необходимые для построения, а также, возможно, добавить указание вроде: «Покажите, как отметить точки на координатной плоскости». Это сохранит всё содержание сосредоточенным и понятным!
Краткий ответ:
| Функция | Преобразование \(y=x^2\) | Вершина | Ось симметрии | Направление ветвей |
|---|---|---|---|---|
| а) \(y=x^2-4\) | сдвиг вниз на \(4\) | \((0;-4)\) | \(x=0\) | вверх |
| б) \(y=-x^2+3\) | отражение относительно \(Ox\), затем сдвиг вверх на \(3\) | \((0;3)\) | \(x=0\) | вниз |
| в) \(y=(x-5)^2\) | сдвиг вправо на \(5\) | \((5;0)\) | \(x=5\) | вверх |
| г) \(y=(x+3)^2\) | сдвиг влево на \(3\) | \((-3;0)\) | \(x=-3\) | вверх |
Как строить
Для параболы вида
\[
y=a(x-h)^2+k
\]
вершина имеет координаты \((h;k)\), а ось симметрии задаётся уравнением \(x=h\).
а) \(y=x^2-4\)
График \(y=x^2\) сдвигаем вниз на \(4\).
Удобные точки:
\[ (0;-4),\quad (1;-3),\quad (-1;-3),\quad (2;0),\quad (-2;0). \]
б) \(y=-x^2+3\)
Знак «минус» отражает параболу вниз, затем сдвиг на \(3\) единицы вверх.
Точки:
\[ (0;3),\quad (1;2),\quad (-1;2),\quad (2;-1),\quad (-2;-1). \]
в) \(y=(x-5)^2\)
График сдвигаем вправо на \(5\).
Точки:
\[ (5;0),\quad (4;1),\quad (6;1),\quad (3;4),\quad (7;4). \]
г) \(y=(x+3)^2=(x-(-3))^2\)
График сдвигаем влево на \(3\).
Точки:
\[ (-3;0),\quad (-4;1),\quad (-2;1),\quad (-5;4),\quad (-1;4). \]
Проверка: у каждой параболы указанные точки симметричны относительно её оси, а координаты вершин получаются подстановкой координаты оси в формулу.
