Реши задание на изображении

Решим через тригонометрию, без теоремы Пифагора.

Обозначим: \[ AB=x,\quad AD=y,\quad AC=d. \]

Из подобия треугольников: \[ AE=\frac{d^2}{2y}=8,\qquad KE=\frac{xd}{y}=8. \]

Делим второе равенство на первое: \[ \frac{x d/y}{d^2/(2y)}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{2x}{d}=1, \] значит, \[ x=\frac d2. \]

В прямоугольном треугольнике \(ABC\): \[ \cos\angle BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{x}{d}=\frac12, \] поэтому \(\angle BAC=60^\circ\). Тогда \[ \frac{AD}{AC}=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \] то есть \[ y=\frac{\sqrt3}{2}d. \]

Подставим в \(AE=8\): \[ \frac{d^2}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}d}=8 \quad\Rightarrow\quad \frac d{\sqrt3}=8, \] \[ d=8\sqrt3. \]

Следовательно, \[ AD=y=\frac{\sqrt3}{2}\cdot 8\sqrt3=12. \]

\[ \boxed{12\text{ см}} \]

Решим через подобие треугольников, без тригонометрии и теоремы Пифагора.

Из подобных треугольников на рисунке: \[ AE=\frac{AC^2}{2AD}=\frac{d^2}{2y},\qquad KE=\frac{AB\cdot AC}{AD}=\frac{xd}{y}. \]

Так как \(AE=KE=8\), то \[ \frac{d^2}{2y}=\frac{xd}{y} \quad\Rightarrow\quad x=\frac d2. \]

Пусть \(H\) — основание перпендикуляра из \(B\) на \(AC\). Тогда по подобию: \[ AB^2=AC\cdot AH. \] Следовательно, \[ AH=\frac{x^2}{d}=\frac{(d/2)^2}{d}=\frac d4, \] а \[ HC=AC-AH=d-\frac d4=\frac{3d}{4}. \]

Из подобия треугольников \(BCH\) и \(ABC\): \[ BC^2=AC\cdot HC =d\cdot\frac{3d}{4}. \] Значит, \[ BC=\frac{\sqrt3}{2}d. \]

Так как \(ABCD\) — прямоугольник, \(AD=BC\), поэтому \[ AD=\frac{\sqrt3}{2}d. \]

Подставим в \(AE=8\): \[ 8=\frac{d^2}{2\cdot \frac{\sqrt3}{2}d} =\frac d{\sqrt3}, \] откуда \[ d=8\sqrt3. \]

Тогда \[ AD=\frac{\sqrt3}{2}\cdot8\sqrt3=12. \]

\[ \boxed{12\text{ см}} \]