Реши первую задачу,не принимая в рассмотрение решение на фото
Краткий ответ:
\[
\boxed{\angle AOB=90^\circ}
\]
Решение.
В трапеции \(ABCD\) основания параллельны:
\[ AD\parallel BC. \]
Углы \(A\) и \(B\) — внутренние односторонние углы при секущей \(AB\), поэтому
\[ \angle A+\angle B=180^\circ. \]
Так как \(AO\) и \(BO\) — биссектрисы этих углов, то в треугольнике \(AOB\):
\[ \angle BAO=\frac{\angle A}{2},\qquad \angle ABO=\frac{\angle B}{2}. \]
По сумме углов треугольника:
\[ \begin{aligned} \angle AOB &=180^\circ-\left(\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}\right)\\ &=180^\circ-\frac{\angle A+\angle B}{2}\\ &=180^\circ-\frac{180^\circ}{2}\\ &=90^\circ. \end{aligned} \]
Проверка: сумма двух половин углов \(A\) и \(B\) равна \(90^\circ\), значит третий угол треугольника \(AOB\) также равен \(90^\circ\).
Обсуждение
12 сообщенийПопробуй решить через х
Пусть \(\angle A=x\). Так как \(AD\parallel BC\), углы \(A\) и \(B\) — односторонние при секущей \(AB\):
\[ \angle B=180^\circ-x. \]
\(AO\) и \(BO\) — биссектрисы, поэтому в треугольнике \(AOB\):
\[ \angle BAO=\frac{x}{2}, \]
\[ \angle ABO=\frac{180^\circ-x}{2}=90^\circ-\frac{x}{2}. \]
Тогда по сумме углов треугольника:
\[ \begin{aligned} \angle AOB &=180^\circ-\left(\frac{x}{2}+90^\circ-\frac{x}{2}\right)\\ &=180^\circ-90^\circ\\ &=\boxed{90^\circ}. \end{aligned} \]
Может через теорему Фалеса получится?
Если ты имеешь в виду теорему Фалеса о прямом угле, опирающемся на диаметр, то её можно использовать только в конце.
Пусть \(\angle A=x\). Тогда из \(AD\parallel BC\):
\[ \angle B=180^\circ-x. \]
Так как \(AO\) и \(BO\) — биссектрисы:
\[ \angle OAB=\frac{x}{2},\qquad \angle ABO=\frac{180^\circ-x}{2}. \]
Их сумма:
\[ \angle OAB+\angle ABO =\frac{x}{2}+\frac{180^\circ-x}{2} =90^\circ. \]
Значит,
\[ \angle AOB=90^\circ. \]
Теперь по обратной теореме Фалеса точка \(O\) лежит на окружности с диаметром \(AB\).
То есть теорема Фалеса здесь подтверждает результат, но самостоятельно найти угол без вычисления через биссектрисы не получится.
Реши задачу, основываясь не только на дано но и на чертеж
Реши задачу, основываясь не только на дано но и на чертеж
Используем обозначения на чертеже:
- \(AB=BC=CD\) — одинаковые засечки;
- \(AD\parallel BC\), так как \(ABCD\) — трапеция;
- \(\angle ACD=90^\circ\) — прямой угол на чертеже.
Пусть
\[ \angle BAC=\angle ACB=x. \]
Это верно, потому что \(AB=BC\), значит, \(\triangle ABC\) равнобедренный.
Так как \(AD\parallel BC\), то
\[ \angle CAD=\angle ACB=x. \]
Следовательно,
\[ \angle A=\angle BAC+\angle CAD=2x. \]
Кроме того, \(AB=CD\), поэтому трапеция равнобедренная и её углы при основании равны:
\[ \angle A=\angle D. \]
В прямоугольном треугольнике \(ACD\):
\[ \angle D=180^\circ-90^\circ-x=90^\circ-x. \]
Составим уравнение:
\[ 2x=90^\circ-x, \]
\[ 3x=90^\circ, \]
\[ x=30^\circ. \]
Тогда
\[ \angle A=2x=60^\circ, \]
\[ \angle D=60^\circ. \]
Соседние углы трапеции в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ, \]
\[ \angle C=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{\angle A=\angle D=60^\circ,\qquad \angle B=\angle C=120^\circ}. \]
По чертежу учитываем обозначения:
\[ AD\parallel BC,\qquad AB=BC=CD,\qquad AC\perp CD. \]
То есть \(\angle ACD=90^\circ\).
Пусть
\[ \angle BAC=\angle ACB=x, \]
так как \(AB=BC\), поэтому \(\triangle ABC\) равнобедренный.
Тогда в треугольнике \(ABC\):
\[ \angle B=180^\circ-2x. \]
Поскольку \(AB=CD\), трапеция \(ABCD\) равнобедренная, значит
\[ \angle B=\angle C. \]
Диагональ \(AC\) делит угол \(C\), поэтому
\[ \angle C=\angle ACB+\angle ACD=x+90^\circ. \]
Составим уравнение:
\[ 180^\circ-2x=90^\circ+x, \]
\[ 3x=90^\circ, \]
\[ x=30^\circ. \]
Следовательно,
\[ \angle B=\angle C=90^\circ+30^\circ=120^\circ. \]
Соседние углы трапеции supplementary:
\[ \angle A=\angle D=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{\angle A=60^\circ,\quad \angle B=120^\circ,\quad \angle C=120^\circ,\quad \angle D=60^\circ.} \]
Проверка:
\[ 60^\circ+120^\circ+120^\circ+60^\circ=360^\circ. \]
Если пойти путём через АД||ВС и сек. АС?
Да, можно начать именно с того, что \(AC\) — секущая для параллельных прямых \(AD\) и \(BC\).
По чертежу:
\[ AD\parallel BC,\qquad AB=BC=CD,\qquad AC\perp CD. \]
Обозначим
\[ \angle DAC=\angle ACB=x. \]
Это накрест лежащие углы при \(AD\parallel BC\).
Так как \(AB=BC\), треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому
\[ \angle BAC=\angle ACB=x. \]
Тогда
\[ \angle ABC=180^\circ-2x. \]
Угол при вершине \(C\) трапеции состоит из углов \(ACB\) и \(ACD\):
\[ \angle BCD=x+90^\circ, \]
поскольку \(AC\perp CD\).
Так как \(AB=CD\), трапеция равнобедренная, значит
\[ \angle ABC=\angle BCD. \]
Составим уравнение:
\[ 180^\circ-2x=90^\circ+x, \]
\[ 3x=90^\circ, \]
\[ x=30^\circ. \]
Следовательно,
\[ \angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ, \]
\[ \angle B=\angle C=120^\circ, \qquad \angle D=60^\circ. \]
Ответ:
\[ \boxed{\angle A=\angle D=60^\circ,\qquad \angle B=\angle C=120^\circ.} \]
Тогда почему угол АСД не равен углу ВАС как накрест лежащие углы при АД||ВС и сек. АС?
Потому что при \(AD\parallel BC\) секущая \(AC\) образует другую пару накрест лежащих углов:
\[ \boxed{\angle DAC=\angle ACB}. \]
Действительно:
- \(\angle DAC\) образован лучами \(AD\) и \(AC\);
- \(\angle ACB\) — лучами \(AC\) и \(CB\).
А угол \(\angle ACD\) образован лучами \(AC\) и \(CD\), то есть использует сторону \(CD\), а не \(CB\). Угол \(\angle BAC\) использует сторону \(AB\), а не \(AD\).
Поэтому равенство
\[ \angle ACD=\angle BAC \]
следовало бы из параллельности
\[ AB\parallel CD, \]
но дано \(AD\parallel BC\), а \(AB\parallel CD\) не следует.
В этой задаче:
\[ \angle ACD=90^\circ, \]
а \(\angle BAC=30^\circ\), поэтому они действительно не равны.
