Реши

Краткие ответы

1. \(x\ne -11\).

1. \(\displaystyle \frac{2a^4}{3b^4}\), \(a\ne0,\ b\ne0\);
2. \(\displaystyle \frac{2n-3}{n}\), \(m\ne0,\ n\ne0\);
3. \(\displaystyle \frac{3}{c-5}\), \(c\ne\pm5\);
4. \(\displaystyle \frac{7-x}{x+7}\), \(x\ne\pm7\).

1. \(\displaystyle \frac{15x^2-8}{18x^3}\), \(x\ne0\);
2. \(\displaystyle -\frac6{b+7}\), \(b\ne0,-7\);
3. \(\displaystyle \frac{4c}{c^2-16}\), \(c\ne\pm4\);
4. \(\displaystyle \frac{3y}{6y+1}\), \(y\ne-\frac16\).

1. \(\displaystyle \frac1{y^2-4}\), \(y\ne\pm2\);
2. \(\displaystyle \frac{3b}{b+4}\), \(b\ne-4\).

1. \(6\);
2. \(\displaystyle \frac{41}{6}\).

6. График — прямая
   \[ y=2x+5, \] но с выколотыми точками \((0;5)\) и \((-1;3)\).

---

Решение

1

Дробь имеет смысл, если знаменатель не равен нулю:

\[ x+11\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne-11. \]

---

2. Сокращение дробей

1. Выносим общие множители:

\[ \frac{36a^{12}b^7}{54a^8b^{11}} = \frac{2a^4}{3b^4}. \]

\[ \frac{18mn-27m}{9mn} = \frac{9m(2n-3)}{9mn} = \frac{2n-3}{n}. \]

\[ \frac{3c+15}{c^2-25} = \frac{3(c+5)}{(c-5)(c+5)} = \frac3{c-5}. \]

Важно: \(c=-5\) всё равно исключается, так как исходная дробь при этом не определена.

\[ \frac{x^2-14x+49}{49-x^2} = \frac{(x-7)^2}{(7-x)(7+x)}. \]

Так как \(7-x=-(x-7)\), получаем:

\[ \frac{(x-7)^2}{-(x-7)(x+7)} = -\frac{x-7}{x+7} = \frac{7-x}{x+7}. \]

---

3. Вычитание дробей

1. Общий знаменатель — \(18x^3\):

\[ \frac{5x-6}{6x^2}-\frac{4-9x}{9x^3} = \frac{3x(5x-6)-2(4-9x)}{18x^3}. \]

\[ = \frac{15x^2-18x-8+18x}{18x^3} = \frac{15x^2-8}{18x^3}. \]

\[ \frac{42}{b^2+7b}-\frac6b = \frac{42}{b(b+7)}-\frac{6(b+7)}{b(b+7)}. \]

\[ = \frac{42-6b-42}{b(b+7)} = \frac{-6b}{b(b+7)} = -\frac6{b+7}. \]

\[ \frac{c^2}{c^2-16}-\frac{c}{c+4} = \frac{c^2}{(c-4)(c+4)} - \frac{c(c-4)}{(c-4)(c+4)}. \]

\[ = \frac{c^2-c^2+4c}{c^2-16} = \frac{4c}{c^2-16}. \]

\[ 3y-\frac{18y^2}{6y+1} = \frac{3y(6y+1)-18y^2}{6y+1}. \]

\[ = \frac{18y^2+3y-18y^2}{6y+1} = \frac{3y}{6y+1}. \]

---

4. Упрощение выражений

1. Разложим знаменатели:

\[ 4y+8=4(y+2),\qquad 4y-8=4(y-2),\qquad y^2-4=(y-2)(y+2). \]

Тогда

\[ \frac{y+6}{4y+8} -\frac{y+2}{4y-8} +\frac5{y^2-4} \]

\[ = \frac{(y+6)(y-2)-(y+2)^2+20} {4(y-2)(y+2)}. \]

Числитель:

\[ (y+6)(y-2)-(y+2)^2+20 = y^2+4y-12-y^2-4y-4+20=4. \]

Значит,

\[ \frac4{4(y^2-4)} = \frac1{y^2-4}. \]

2. Обозначим

\[ Q=b^2-4b+16. \]

Используем формулу суммы кубов:

\[ b^3+64=(b+4)(b^2-4b+16)=(b+4)Q. \]

Тогда

\[ \frac{6b^3+48b}{(b+4)Q}-\frac{3b^2}{Q} \]

\[ = \frac{6b^3+48b-3b^2(b+4)}{(b+4)Q}. \]

Упростим числитель:

\[ 6b^3+48b-3b^3-12b^2 = 3b^3-12b^2+48b = 3bQ. \]

Следовательно,

\[ \frac{3bQ}{(b+4)Q} = \frac{3b}{b+4}. \]

---

5

Из условия:

\[ \frac{x+4y}{y}=10. \]

Умножаем на \(y\):

\[ x+4y=10y, \]

\[ x=6y. \]

\[ \frac xy=6. \]

\[ \frac{7x-y}{x} = \frac{7\cdot6y-y}{6y} = \frac{41y}{6y} = \frac{41}{6}. \]

Проверка условия:

\[ \frac{6y+4y}{y}=\frac{10y}{y}=10. \]

---

6. Построение графика

Область допустимых значений:

\[ x\ne0,\qquad x\ne-1. \]

Разложим числители:

\[ 3x^2+4x=x(3x+4),\qquad x^2-1=(x-1)(x+1). \]

Тогда

\[ y=\frac{x(3x+4)}x-\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \]

\[ y=3x+4-(x-1)=2x+5. \]

Строим прямую \(y=2x+5\), но:

• при \(x=0\): \(y=5\), точка \((0;5)\) выколота;
• при \(x=-1\): \(y=3\), точка \((-1;3)\) выколота.