Реши задание на изображении

Краткий ответ

а) \(y=\frac13(x-6)^2-8\) — парабола, ветви направлены вверх.
Вершина: \((6;-8)\), ось симметрии: \(x=6\).
\(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[-8;+\infty)\). Минимум: \(-8\).

б) \(y=-\frac14(x-2)^2\) — парабола, ветви направлены вниз.
Вершина: \((2;0)\), ось симметрии: \(x=2\).
\(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=(-\infty;0]\). Максимум: \(0\).

Как получаем графики

Для функции вида
\[ y=a(x-h)^2+k \] вершина параболы имеет координаты \((h;k)\), а ось симметрии — \(x=h\). Если \(a>0\), ветви направлены вверх, если \(a<0\) — вниз.

а) \(y=\frac13x^2-4x+4\)

Выделим полный квадрат:

\[ y=\frac13(x^2-12x+12) =\frac13\bigl((x-6)^2-24\bigr) =\frac13(x-6)^2-8. \]

Значит:

• вершина: \((6;-8)\);
• ось симметрии: \(x=6\);
• ветви направлены вверх;
• функция убывает на \((-\infty;6]\);
• функция возрастает на \([6;+\infty)\);
• наименьшее значение: \(-8\) при \(x=6\);
• наибольшего значения нет.

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&3&6&9&12\\ \hline y&4&-5&-8&-5&4 \end{array} \]

Нули функции:

\[ \frac13(x-6)^2-8=0, \]

\[ (x-6)^2=24, \]

\[ x=6\pm2\sqrt6. \]

График пересекает ось \(Ox\) в точках
\[ (6-2\sqrt6;0),\qquad (6+2\sqrt6;0). \]

б) \(y=-\frac14x^2+x-1\)

Выделим полный квадрат:

\[ y=-\frac14(x^2-4x+4) =-\frac14(x-2)^2. \]

Значит:

• вершина: \((2;0)\);
• ось симметрии: \(x=2\);
• ветви направлены вниз;
• функция возрастает на \((-\infty;2]\);
• функция убывает на \([2;+\infty)\);
• наибольшее значение: \(0\) при \(x=2\);
• наименьшего значения нет.

Точки для построения:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&-1&-\frac14&0&-\frac14&-1 \end{array} \]

Нуль функции:

\[ -\frac14(x-2)^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2. \]

Парабола касается оси \(Ox\) в вершине \((2;0)\) и лежит не выше этой оси.

Проверка: формы
\[ \frac13(x-6)^2-8 \quad\text{и}\quad -\frac14(x-2)^2 \] при раскрытии скобок дают исходные функции.