Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(x\ne -11\).

1. \(\displaystyle \frac{2a^4}{3b^4}\);
2. \(\displaystyle \frac{2n-3}{n}\);
3. \(\displaystyle \frac{3}{c-5}\);
4. \(\displaystyle \frac{7-x}{x+7}\).

1. \(\displaystyle \frac{15x^2-8}{18x^3}\);
2. \(\displaystyle -\frac{6}{b+7}\);
3. \(\displaystyle \frac{4c}{c^2-16}\);
4. \(\displaystyle \frac{3y}{6y+1}\).

1. \(\displaystyle \frac1{y^2-4}\);
2. \(\displaystyle \frac{3b}{b+4}\).

1. \(\displaystyle \frac{x}{y}=6\);
2. \(\displaystyle \frac{7x-y}{x}=\frac{41}{6}\).

6. График — прямая \(\boxed{y=2x+5}\), но точки \((-1;3)\) и \((0;5)\) выколоты.

---

Решение и ключевые шаги

1. Область допустимых значений

Дробь имеет смысл, если знаменатель не равен нулю:

\[ x+11\ne0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{x\ne-11}. \]

---

2. Сокращение дробей

\[ \frac{36a^{12}b^7}{54a^8b^{11}} =\frac{2a^{12}b^7}{3a^8b^{11}} =\boxed{\frac{2a^4}{3b^4}}. \]

Здесь \(a\ne0,\ b\ne0\).

\[ \frac{18mn-27m}{9mn} =\frac{9m(2n-3)}{9mn} =\boxed{\frac{2n-3}{n}}. \]

Ограничения: \(m\ne0,\ n\ne0\).

\[ \frac{3c+15}{c^2-25} =\frac{3(c+5)}{(c-5)(c+5)} =\boxed{\frac3{c-5}}. \]

Ограничения: \(c\ne5,\ c\ne-5\).

\[ \frac{x^2-14x+49}{49-x^2} =\frac{(x-7)^2}{(7-x)(7+x)} \]

Так как \(7-x=-(x-7)\), получаем:

\[ \frac{(x-7)^2}{-(x-7)(x+7)} =-\frac{x-7}{x+7} =\boxed{\frac{7-x}{x+7}}. \]

Ограничения: \(x\ne7,\ x\ne-7\).

---

3. Вычитание дробей

\[ \frac{5x-6}{6x^2}-\frac{4-9x}{9x^3}. \]

Общий знаменатель — \(18x^3\):

\[ \frac{3x(5x-6)-2(4-9x)}{18x^3} = \frac{15x^2-18x-8+18x}{18x^3} = \boxed{\frac{15x^2-8}{18x^3}}. \]

\(x\ne0\).

\[ \frac{42}{b^2+7b}-\frac6b = \frac{42}{b(b+7)}-\frac{6(b+7)}{b(b+7)}. \]

\[ \frac{42-6b-42}{b(b+7)} = \frac{-6b}{b(b+7)} = \boxed{-\frac6{b+7}}. \]

\(b\ne0,\ b\ne-7\).

\[ \frac{c^2}{c^2-16}-\frac{c}{c+4}. \]

Так как \(c^2-16=(c-4)(c+4)\), то

\[ \frac{c^2-c(c-4)}{(c-4)(c+4)} = \frac{c^2-c^2+4c}{(c-4)(c+4)} = \boxed{\frac{4c}{c^2-16}}. \]

\(c\ne4,\ c\ne-4\).

\[ 3y-\frac{18y^2}{6y+1} = \frac{3y(6y+1)-18y^2}{6y+1}. \]

\[ \frac{18y^2+3y-18y^2}{6y+1} = \boxed{\frac{3y}{6y+1}}. \]

\(y\ne-\frac16\).

---

4. Упрощение выражений

\[ \frac{y+6}{4y+8}-\frac{y+2}{4y-8}+\frac5{y^2-4}. \]

Разложим знаменатели:

\[ 4y+8=4(y+2),\qquad 4y-8=4(y-2), \] \[ y^2-4=(y-2)(y+2). \]

Общий знаменатель: \(4(y-2)(y+2)\).

\[ \frac{(y+6)(y-2)-(y+2)^2+20} {4(y-2)(y+2)}. \]

Числитель:

\[ (y+6)(y-2)-(y+2)^2+20 =y^2+4y-12-y^2-4y-4+20=4. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\frac1{y^2-4}}. \]

\(y\ne2,\ y\ne-2\).

\[ \frac{6b^3+48b}{b^3+64} -\frac{3b^2}{b^2-4b+16}. \]

Используем формулу суммы кубов:

\[ b^3+64=(b+4)(b^2-4b+16). \]

Тогда

\[ \frac{6b^3+48b-3b^2(b+4)} {(b+4)(b^2-4b+16)}. \]

\[ 6b^3+48b-3b^3-12b^2 =3b(b^2-4b+16). \]

Поэтому

\[ \frac{3b(b^2-4b+16)} {(b+4)(b^2-4b+16)} = \boxed{\frac{3b}{b+4}}. \]

\(b\ne-4\).

---

5. Использование условия

Дано:

\[ \frac{x+4y}{y}=10. \]

Разделим числитель на \(y\):

\[ \frac xy+4=10, \]

откуда

\[ \boxed{\frac xy=6}. \]

Значит, \(x=6y\). Тогда

\[ \frac{7x-y}{x} =7-\frac yx =7-\frac16 =\boxed{\frac{41}{6}}. \]

---

6. Построение графика

\[ y=\frac{3x^2+4x}{x}-\frac{x^2-1}{x+1}. \]

Ограничения исходной функции:

\[ x\ne0,\qquad x\ne-1. \]

Сократим дроби:

\[ \frac{3x^2+4x}{x}=3x+4, \]

\[ \frac{x^2-1}{x+1} =\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1. \]

Следовательно,

\[ y=(3x+4)-(x-1)=\boxed{2x+5}. \]

Нужно построить прямую \(y=2x+5\), но исключить:

• при \(x=-1\): \(y=2(-1)+5=3\), точка \((-1;3)\);
• при \(x=0\): \(y=5\), точка \((0;5)\).

Эти точки на графике обозначаются пустыми кружками. Проверка: при \(x=1\) обе записи дают \(y=7\).