Задай 5 дробно-рациональных уравнений

Решим уравнение:

\[ \frac{3}{x-2}=1 \]

ОДЗ:

\[ x-2\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne 2. \]

Умножим обе части на \(x-2\):

\[ 3=x-2. \]

Тогда:

\[ x=5. \]

Проверка: \(\frac{3}{5-2}=\frac33=1\).

Ответ: \(\boxed{x=5}\).

Решим уравнение подробно:

\[ \frac{3}{x-2}=1 \]

1. Запишем ОДЗ

Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

\[ x-2\ne 0. \]

Отсюда:

\[ x\ne 2. \]

2. Избавимся от знаменателя

Умножим обе части уравнения на \(x-2\). Это допустимо, потому что по ОДЗ \(x-2\ne0\):

\[ \frac{3}{x-2}\cdot(x-2)=1\cdot(x-2). \]

Слева знаменатель сокращается:

\[ 3=x-2. \]

3. Найдём \(x\)

Прибавим \(2\) к обеим частям:

\[ 3+2=x, \]

\[ x=5. \]

4. Выполним проверку

Подставим \(x=5\) в исходное уравнение:

\[ \frac{3}{5-2}=\frac{3}{3}=1. \]

Равенство верное, а число \(5\) не нарушает ОДЗ.

\[ \boxed{x=5} \]

Решим все пять уравнений.

1. \(\displaystyle \frac{3}{x-2}=1\)

ОДЗ:

\[ x-2\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne 2. \]

Умножим обе части на \(x-2\):

\[ 3=x-2. \]

Отсюда:

\[ x=5. \]

Проверка:

\[ \frac{3}{5-2}=\frac{3}{3}=1. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=5} \]

---

2. \(\displaystyle \frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-1}=1\)

ОДЗ:

\[ x+1\ne0,\quad x-1\ne0, \]

\[ x\ne-1,\quad x\ne1. \]

Общий знаменатель — \((x+1)(x-1)\). Умножим всё уравнение на него:

\[ 2(x-1)+1(x+1)=(x+1)(x-1). \]

Раскроем скобки:

\[ 2x-2+x+1=x^2-1. \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 3x-1=x^2-1. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ x^2-3x=0. \]

Вынесем \(x\) за скобки:

\[ x(x-3)=0. \]

Отсюда:

\[ x=0\quad\text{или}\quad x=3. \]

Оба значения не нарушают ОДЗ.

Ответ:

\[ \boxed{x=0;\ 3} \]

---

3. \(\displaystyle \frac{x+1}{x-2}=-\frac{2}{x}\)

ОДЗ:

\[ x-2\ne0,\quad x\ne0, \]

\[ x\ne2,\quad x\ne0. \]

Умножим обе части на общий знаменатель \(x(x-2)\):

\[ x(x+1)=-2(x-2). \]

Раскроем скобки:

\[ x^2+x=-2x+4. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ x^2+3x-4=0. \]

Разложим на множители:

\[ (x+4)(x-1)=0. \]

Отсюда:

\[ x=-4\quad\text{или}\quad x=1. \]

Оба корня подходят, так как \(x\ne0\) и \(x\ne2\).

Ответ:

\[ \boxed{x=-4;\ 1} \]

---

4. \(\displaystyle \frac{5}{x^2-4}=\frac{1}{x-2}\)

Разложим разность квадратов:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]

ОДЗ:

\[ x^2-4\ne0,\quad x-2\ne0. \]

Следовательно:

\[ x\ne2,\quad x\ne-2. \]

Умножим обе части на \((x-2)(x+2)\):

\[ 5(x-2)=x+2. \]

Раскроем скобки:

\[ 5x-10=x+2. \]

Перенесём неизвестные в левую часть, а числа — в правую:

\[ 5x-x=2+10, \]

\[ 4x=12. \]

Отсюда:

\[ x=3. \]

Число \(3\) не нарушает ОДЗ.

Ответ:

\[ \boxed{x=3} \]

---

5. \(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}=\frac{x-3}{x+2}\)

ОДЗ:

\[ x-1\ne0,\quad x+2\ne0, \]

\[ x\ne1,\quad x\ne-2. \]

Умножим обе части на \((x-1)(x+2)\):

\[ (x+2)^2=(x-3)(x-1). \]

Раскроем скобки:

\[ x^2+4x+4=x^2-4x+3. \]

Сократим \(x^2\) в обеих частях:

\[ 4x+4=-4x+3. \]

Перенесём слагаемые:

\[ 4x+4x=3-4, \]

\[ 8x=-1. \]

Разделим на \(8\):

\[ x=-\frac18. \]

Это значение не нарушает ОДЗ.

Ответ:

\[ \boxed{x=-\frac18} \]

Итог

\[ \boxed{1)\ x=5} \]

\[ \boxed{2)\ x=0;\ 3} \]

\[ \boxed{3)\ x=-4;\ 1} \]

\[ \boxed{4)\ x=3} \]

\[ \boxed{5)\ x=-\frac18} \]