Сделай 112
Краткий ответ
Обозначим \(D(f)\) — область определения, \(E(f)\) — область значений.
- а) \(y=-3x+1\) — прямая, убывает; нуль \(x=\frac13\).
- б) \(y=2x+5\) — прямая, возрастает; нуль \(x=-\frac52\).
- в) \(y=-\frac3x\) — гипербола с ветвями во II и IV четвертях.
- г) \(y=\frac1{2x}\) — гипербола с ветвями в I и III четвертях.
- д) \(y=-x^2\) — парабола, ветви направлены вниз.
- е) \(y=-x^3\) — кубическая парабола, функция убывает.
Подробное решение
а) \(y=-3x+1\)
Для построения отметим точки:
\[ x=0 \Rightarrow y=1,\qquad x=1 \Rightarrow y=-2. \]
График — прямая через точки \((0;1)\) и \((1;-2)\).
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\), \(E(f)=\mathbb R\);
- функция убывает на всей числовой прямой;
- нуль функции:
\[ -3x+1=0 \Rightarrow x=\frac13; \]
- \(y>0\) при \(x<\frac13\);
- \(y<0\) при \(x>\frac13\);
- функция не является ни чётной, ни нечётной;
- наибольшего и наименьшего значения нет.
б) \(y=2x+5\)
Точки для построения:
\[ x=0 \Rightarrow y=5,\qquad x=1 \Rightarrow y=7. \]
График — прямая через \((0;5)\) и \((1;7)\).
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\), \(E(f)=\mathbb R\);
- функция возрастает на всей числовой прямой;
- нуль функции:
\[ 2x+5=0 \Rightarrow x=-\frac52; \]
- \(y<0\) при \(x<-\frac52\);
- \(y>0\) при \(x>-\frac52\);
- функция не является ни чётной, ни нечётной;
- наибольшего и наименьшего значения нет.
в) \(y=-\dfrac3x\)
Точки:
\[ (-3;1),\quad (-1;3),\quad (1;-3),\quad (3;-1). \]
График — гипербола. Её асимптоты:
\[ x=0,\qquad y=0. \]
Ветви находятся во II и IV четвертях.
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
- \(E(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
- нулей нет, так как дробь \(-\frac3x\) не может быть равна нулю;
- \(y>0\) при \(x<0\);
- \(y<0\) при \(x>0\);
- функция возрастает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\);
- функция нечётная:
\[ f(-x)=-f(x); \]
- наибольшего и наименьшего значения нет.
г) \(y=\dfrac1{2x}\)
Точки:
\[ \left(-1;-\frac12\right),\quad \left(-\frac12;-1\right),\quad \left(\frac12;1\right),\quad \left(1;\frac12\right). \]
График — гипербола с асимптотами \(x=0\) и \(y=0\). Ветви находятся в I и III четвертях.
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
- \(E(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
- нулей нет;
- \(y<0\) при \(x<0\);
- \(y>0\) при \(x>0\);
- функция убывает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\);
- функция нечётная;
- наибольшего и наименьшего значения нет.
д) \(y=-x^2\)
Точки:
\[ (0;0),\quad (1;-1),\quad (-1;-1),\quad (2;-4),\quad (-2;-4). \]
График — парабола с вершиной в точке \((0;0)\), ветви направлены вниз.
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\);
- \(E(f)=(-\infty;0]\);
- нуль функции: \(x=0\);
- \(y<0\) при \(x\ne0\);
- функция возрастает на \((-\infty;0]\);
- функция убывает на \([0;+\infty)\);
- функция чётная;
- наибольшее значение равно \(0\) при \(x=0\);
- наименьшего значения нет.
е) \(y=-x^3\)
Точки:
\[ (-1;1),\quad (0;0),\quad (1;-1). \]
График — кубическая парабола.
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\), \(E(f)=\mathbb R\);
- нуль функции: \(x=0\);
- \(y>0\) при \(x<0\);
- \(y<0\) при \(x>0\);
- функция убывает на всей числовой прямой;
- функция нечётная;
- наибольшего и наименьшего значения нет.
Проверка
Нули получены правильно из уравнения \(y=0\):
\[ -3x+1=0,\quad 2x+5=0,\quad -x^2=0,\quad -x^3=0. \]
У дробно-рациональных функций нулей нет, потому что их числители ненулевые. Для \(y=-x^2\) все значения неположительны, поэтому парабола направлена вниз.
Обсуждение
2 сообщенияПокажи, как начертить гиперболы по точкам
Конечно. В №112 нужно начертить две гиперболы:
\[ y=-\frac{3}{x} \qquad\text{и}\qquad y=\frac{1}{2x}. \]
Общий порядок построения
- Проведи координатные оси \(Ox\) и \(Oy\).
- Помни: \(x\ne0\), поэтому график не проходит через начало координат.
- Оси \(Ox\) и \(Oy\) являются асимптотами: ветви гиперболы приближаются к ним, но не пересекают.
- Вычисли несколько точек.
- Поставь точки и соедини их плавными ветвями.
1. График \(y=-\dfrac{3}{x}\)
Составим таблицу:
\[ \begin{array}{c|cccc} x&-3&-1&1&3\\ \hline y=-\frac3x&1&3&-3&-1 \end{array} \]
Получаем точки:
\[ (-3;1),\quad (-1;3),\quad (1;-3),\quad (3;-1). \]
Как расположены ветви
- при \(x<0\) значение \(y>0\), поэтому левая ветвь находится во II четверти;
- при \(x>0\) значение \(y<0\), поэтому правая ветвь находится в IV четверти.
Поставь точки и проведи две плавные ветви:
- ветвь во II четверти приближается к осям \(Ox\) и \(Oy\);
- ветвь в IV четверти также приближается к осям;
- через начало координат график не проходит.
Схематично:
y
↑
╱ │
╱ │
──────────┼────────→ x
│ ╲
│ ╲
2. График \(y=\dfrac{1}{2x}\)
Возьмём удобные значения \(x\):
\[ \begin{array}{c|cccccc} x&-2&-1&-\frac12&\frac12&1&2\\ \hline y=\frac1{2x} &-\frac14&-\frac12&-1&1&\frac12&\frac14 \end{array} \]
Точки:
\[ \left(-2;-\frac14\right),\quad \left(-1;-\frac12\right),\quad \left(-\frac12;-1\right), \]
\[ \left(\frac12;1\right),\quad \left(1;\frac12\right),\quad \left(2;\frac14\right). \]
Как расположены ветви
- при \(x<0\) значение \(y<0\), поэтому ветвь находится в III четверти;
- при \(x>0\) значение \(y>0\), поэтому ветвь находится в I четверти.
Схематично:
y
↑ ╱
│ ╱
──────────┼────────→ x
╲ │
╲ │
Важно
В обоих случаях:
- не соединяй ветви через \(x=0\);
- не рисуй график ломаной;
- ветви должны плавно приближаться к осям, но не пересекать их.
