Упражнение 112 много чего не понятно например про свойство я понимаю что у меня есть в учебнике от макарычева теория но все равно непонятно
Краткий ответ
В упражнении 112 нужно для каждой функции указать:
- область определения \(D(f)\);
- область значений \(E(f)\);
- нули функции;
- где функция положительна и отрицательна;
- промежутки возрастания и убывания;
- ограниченность;
- чётность или нечётность;
- построить график по нескольким точкам.
а) \(y=-3x+1\)
График — прямая. Достаточно отметить точки:
\[ (0;1),\qquad (1;-2). \]
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\);
- \(E(f)=\mathbb R\);
- нуль функции:
\[ -3x+1=0 \Rightarrow x=\frac13; \]
- \(y>0\) при \(x<\frac13\);
- \(y<0\) при \(x>\frac13\);
- функция убывает на всей \(\mathbb R\), потому что коэффициент при \(x\) отрицательный;
- не ограничена сверху и снизу;
- ни чётная, ни нечётная.
б) \(y=5+2x\)
График — прямая через точки:
\[ (0;5),\qquad (1;7). \]
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\);
- \(E(f)=\mathbb R\);
- нуль функции:
\[ 5+2x=0 \Rightarrow x=-\frac52; \]
- \(y<0\) при \(x<-\frac52\);
- \(y>0\) при \(x>-\frac52\);
- функция возрастает на всей \(\mathbb R\), потому что коэффициент при \(x\) положительный;
- не ограничена сверху и снизу;
- ни чётная, ни нечётная.
в) \(y=-\dfrac{3}{x}\)
Это гипербола. При \(x=0\) выражение не имеет смысла. Асимптоты — оси координат.
Точки:
\[ (-3;1),\quad (-1;3),\quad (1;-3),\quad (3;-1). \]
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
- \(E(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
- нулей нет: дробь \(-3/x\) не может быть равна нулю;
- \(y>0\) при \(x<0\);
- \(y<0\) при \(x>0\);
- функция возрастает на каждом из промежутков
\[ (-\infty;0)\quad\text{и}\quad(0;+\infty); \]
- не ограничена сверху и снизу;
- нечётная, поэтому её график симметричен относительно начала координат;
- ветви расположены во II и IV координатных четвертях.
г) \(y=\dfrac{1}{2x}\)
Здесь \(2x\) находится целиком в знаменателе. Это также гипербола.
Точки:
\[ \left(-1;-\frac12\right),\quad \left(1;\frac12\right),\quad \left(2;\frac14\right),\quad \left(\frac12;1\right). \]
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
- \(E(f)=\mathbb R\setminus\{0\}\);
- нулей нет;
- \(y<0\) при \(x<0\);
- \(y>0\) при \(x>0\);
- функция убывает на каждом из промежутков
\[ (-\infty;0)\quad\text{и}\quad(0;+\infty); \]
- не ограничена сверху и снизу;
- нечётная;
- ветви расположены в I и III координатных четвертях.
д) \(y=-x^2\)
График — парабола, ветви направлены вниз.
Точки:
\[ (-2;-4),\quad(-1;-1),\quad(0;0),\quad(1;-1),\quad(2;-4). \]
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\);
- \(E(f)=(-\infty;0]\);
- нуль функции: \(x=0\);
- \(y<0\) при \(x\ne0\);
- положительных значений функция не принимает;
- возрастает на \((-\infty;0]\);
- убывает на \([0;+\infty)\);
- ограничена сверху: \(y\le0\);
- имеет наибольшее значение \(0\) при \(x=0\);
- чётная, поэтому симметрична относительно оси \(Oy\).
е) \(y=-x^3\)
График — кубическая парабола, проходящая через начало координат.
Точки:
\[ (-2;8),\quad(-1;1),\quad(0;0),\quad(1;-1),\quad(2;-8). \]
Свойства:
- \(D(f)=\mathbb R\);
- \(E(f)=\mathbb R\);
- нуль функции: \(x=0\);
- \(y>0\) при \(x<0\);
- \(y<0\) при \(x>0\);
- функция убывает на всей \(\mathbb R\);
- не ограничена сверху и снизу;
- нечётная, поэтому симметрична относительно начала координат.
Как понимать слово «свойства»
Например, рассмотрим \(y=-3x+1\).
- Область определения — какие \(x\) можно подставлять. Здесь запретов нет, значит:
\[ D(f)=\mathbb R. \]
- Область значений — какие \(y\) получаются. Прямая может подниматься и опускаться бесконечно, значит:
\[ E(f)=\mathbb R. \]
- Нуль функции — значение \(x\), при котором график пересекает ось \(Ox\). Для этого приравниваем \(y\) к нулю:
\[ -3x+1=0. \]
Знак функции — смотрим, выше или ниже графика оси \(Ox\). До точки \(x=\frac13\) прямая выше оси, после неё — ниже.
Возрастание или убывание — если при движении вправо график идёт вниз, функция убывает. У \(y=-3x+1\) коэффициент \(-3<0\), поэтому она убывает.
Чётность:
- чётный график симметричен относительно оси \(Oy\);
- нечётный — относительно начала координат.
Например,
\[ f(-x)=-(-x)^2=-x^2=f(x), \]
поэтому \(y=-x^2\) — чётная функция.
Проверка
- У прямых достаточно двух точек.
- У дробных функций нельзя брать \(x=0\), потому что на ноль делить нельзя.
- У \(y=-x^2\) все значения должны быть не больше нуля.
- У \(y=-x^3\) при отрицательных \(x\) значения положительны, а при положительных — отрицательны.
Обсуждение
2 сообщенияЕсть недочеты 1. Не указано откуда взялись цифры (0;1) и ид это не прописано , а если я бы не знала что это такое? 2. В учебнике написано, что область определения и значения хотя бы в первом равна не R , а (-бесконечно;+бесконечность) 3. Ничего не объясняется а если я совсем с темой не знакома откуда я должна брать все эти формулы?
Да, вы правы: предыдущий ответ был слишком сжатым. Я сразу написал результаты, но не объяснил, откуда они берутся. Исправляю и разбираю всё с самого начала на функциях из упражнения 112.
1. Откуда берутся точки для графика
График функции \(y=f(x)\) состоит из точек вида
\[ (x;y), \]
где первое число — выбранное значение \(x\), а второе — результат вычисления функции.
Например, для
\[ y=-3x+1 \]
можно выбрать \(x=0\):
\[ y=-3\cdot0+1=1. \]
Получаем точку
\[ (0;1). \]
Если выбрать \(x=1\), то
\[ y=-3\cdot1+1=-2, \]
получаем точку
\[ (1;-2). \]
То есть числа \((0;1)\) и \((1;-2)\) не берутся из воздуха — мы выбрали \(x\) и подставили его в формулу.
Можно составить таблицу:
\[ \begin{array}{c|ccc} x&-1&0&1\\ \hline y=-3x+1&4&1&-2 \end{array} \]
Значит, точки графика:
\[ (-1;4),\quad (0;1),\quad (1;-2). \]
Для прямой достаточно двух разных точек.
2. Что означает \(\mathbb R\)
Вы правы, в учебнике обычно пишут:
\[ (-\infty;+\infty). \]
Запись
\[ \mathbb R \]
означает то же самое: множество всех действительных чисел.
То есть
\[ \mathbb R=(-\infty;+\infty). \]
Если в вашем учебнике используют интервалы, в решении лучше писать именно так.
Например, для функции
\[ y=-3x+1 \]
область определения:
\[ D(f)=(-\infty;+\infty), \]
а не только \(\mathbb R\).
Что означают свойства функции
1. Область определения
Это все значения \(x\), которые можно подставить в формулу.
Например, в дроби нельзя делить на ноль:
\[ \frac{3}{x} \]
не имеет смысла при \(x=0\).
2. Область значений
Это все числа \(y\), которые могут получиться.
3. Нули функции
Нуль функции — это такое значение \(x\), при котором
\[ y=0. \]
Поэтому нужно решить уравнение
\[ f(x)=0. \]
4. Где функция положительна или отрицательна
- функция положительна, если \(y>0\);
- функция отрицательна, если \(y<0\).
Для этого решают неравенства:
\[ f(x)>0,\qquad f(x)<0. \]
5. Возрастание и убывание
- функция возрастает, если при увеличении \(x\) увеличивается и \(y\);
- функция убывает, если при увеличении \(x\) значение \(y\) уменьшается.
Для линейной функции
\[ y=kx+b \]
- если \(k>0\), функция возрастает;
- если \(k<0\), функция убывает.
6. Чётность
Нужно сравнить \(f(-x)\) и \(f(x)\):
- если \(f(-x)=f(x)\), функция чётная;
- если \(f(-x)=-f(x)\), функция нечётная.
Разбор функций
а) \(y=-3x+1\)
Точки
Выберем несколько значений \(x\):
\[ \begin{array}{c|ccc} x&-1&0&1\\ \hline y&4&1&-2 \end{array} \]
График — прямая через эти точки.
Область определения
Запрещённых действий нет: нет знаменателя, корня и других ограничений.
\[ D(f)=(-\infty;+\infty). \]
Область значений
Функция является прямой и может принимать любые значения \(y\).
Можно доказать это так:
\[ y=-3x+1, \]
\[ -3x=y-1, \]
\[ x=\frac{1-y}{3}. \]
Какое бы действительное \(y\) мы ни взяли, значение \(x\) тоже будет действительным. Поэтому
\[ E(f)=(-\infty;+\infty). \]
Нуль функции
Приравниваем \(y\) к нулю:
\[ -3x+1=0, \]
\[ -3x=-1, \]
\[ x=\frac13. \]
Знак функции
\[ -3x+1>0 \]
при
\[ x<\frac13. \]
Значит, функция положительна на
\[ \left(-\infty;\frac13\right). \]
Функция отрицательна на
\[ \left(\frac13;+\infty\right). \]
Возрастание и убывание
Коэффициент при \(x\) равен \(-3\), он отрицательный. Поэтому функция убывает на всём промежутке
\[ (-\infty;+\infty). \]
Чётность
\[ f(-x)=-3(-x)+1=3x+1. \]
Это не равно ни \(f(x)=-3x+1\), ни \(-f(x)=3x-1\). Поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
б) \(y=5+2x\)
Точки
\[ \begin{array}{c|ccc} x&-1&0&1\\ \hline y&3&5&7 \end{array} \]
Например:
\[ x=0\Rightarrow y=5+2\cdot0=5, \]
поэтому точка \((0;5)\).
Область определения и значений
Ограничений нет:
\[ D(f)=(-\infty;+\infty), \]
\[ E(f)=(-\infty;+\infty). \]
Нуль функции
\[ 5+2x=0, \]
\[ 2x=-5, \]
\[ x=-\frac52. \]
Знак функции
Функция отрицательна при
\[ x<-\frac52, \]
и положительна при
\[ x>-\frac52. \]
Возрастание
Коэффициент при \(x\) равен \(2>0\), поэтому функция возрастает на
\[ (-\infty;+\infty). \]
Функция ни чётная, ни нечётная.
в) \(y=-\dfrac3x\)
Точки
Здесь удобно брать такие \(x\), которые делят число \(3\):
\[ \begin{array}{c|cccc} x&-3&-1&1&3\\ \hline y&1&3&-3&-1 \end{array} \]
Например:
\[ x=-3\Rightarrow y=-\frac3{-3}=1. \]
Область определения
Знаменатель не должен быть равен нулю:
\[ x\ne0. \]
Поэтому
\[ D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
Область значений
Дробь
\[ -\frac3x \]
не может быть равна нулю, потому что числитель \(-3\) не равен нулю.
Поэтому
\[ E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
Нулей нет
Уравнение
\[ -\frac3x=0 \]
не имеет решений.
Знак функции
Если \(x<0\), то отрицательное число делится на отрицательное, поэтому
\[ y>0. \]
Если \(x>0\), то
\[ y<0. \]
Возрастание
Функция возрастает отдельно на промежутках
\[ (-\infty;0) \]
и
\[ (0;+\infty). \]
Нельзя писать, что она возрастает на всём промежутке, потому что при \(x=0\) функция не существует.
Чётность
\[ f(-x)=-\frac3{-x}=\frac3x. \]
А
\[ -f(x)=-\left(-\frac3x\right)=\frac3x. \]
Значит,
\[ f(-x)=-f(x), \]
функция нечётная.
г) \(y=\dfrac1{2x}\)
Точки
\[ \begin{array}{c|cccc} x&-2&-1&1&2\\ \hline y&-\frac14&-\frac12&\frac12&\frac14 \end{array} \]
Например:
\[ x=2\Rightarrow y=\frac1{2\cdot2}=\frac14. \]
Область определения
Знаменатель не должен быть равен нулю:
\[ 2x\ne0, \]
значит,
\[ x\ne0. \]
Поэтому
\[ D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
Область значений
Дробь не может быть равна нулю, поэтому
\[ E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
Нулей нет
\[ \frac1{2x}=0 \]
невозможно.
Знак функции
- при \(x<0\) функция отрицательна;
- при \(x>0\) функция положительна.
Возрастание и убывание
Функция убывает отдельно на
\[ (-\infty;0) \]
и
\[ (0;+\infty). \]
Чётность
\[ f(-x)=\frac1{-2x}=-\frac1{2x}=-f(x). \]
Функция нечётная.
д) \(y=-x^2\)
Точки
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&-4&-1&0&-1&-4 \end{array} \]
Например:
\[ x=-2\Rightarrow y=-(-2)^2=-4. \]
График — парабола, ветви направлены вниз.
Область определения
Любое число можно возвести в квадрат:
\[ D(f)=(-\infty;+\infty). \]
Область значений
Квадрат любого числа неотрицателен:
\[ x^2\ge0. \]
После умножения на \(-1\):
\[ -x^2\le0. \]
Значит,
\[ E(f)=(-\infty;0]. \]
Нуль функции
\[ -x^2=0, \]
\[ x^2=0, \]
\[ x=0. \]
Знак функции
Функция равна нулю при \(x=0\), а при всех остальных \(x\)
\[ -x^2<0. \]
Положительных значений нет.
Возрастание и убывание
На промежутке
\[ (-\infty;0] \]
функция возрастает.
На промежутке
\[ [0;+\infty) \]
функция убывает.
Наибольшее значение:
\[ y_{\max}=0. \]
Чётность
\[ f(-x)=-(-x)^2=-x^2=f(x). \]
Функция чётная.
е) \(y=-x^3\)
Точки
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&8&1&0&-1&-8 \end{array} \]
Например:
\[ x=-2\Rightarrow y=-(-2)^3=-(-8)=8. \]
Область определения и значений
Куб можно вычислить для любого числа:
\[ D(f)=(-\infty;+\infty). \]
Кубическая функция принимает любые действительные значения, поэтому
\[ E(f)=(-\infty;+\infty). \]
Нуль функции
\[ -x^3=0, \]
\[ x=0. \]
Знак функции
- при \(x<0\) функция положительна;
- при \(x>0\) функция отрицательна.
Возрастание и убывание
При увеличении \(x\) число \(x^3\) увеличивается, но знак «минус» меняет направление. Поэтому функция убывает на всём промежутке
\[ (-\infty;+\infty). \]
Чётность
\[ f(-x)=-(-x)^3=x^3. \]
А
\[ -f(x)=-(-x^3)=x^3. \]
Значит,
\[ f(-x)=-f(x), \]
функция нечётная.
Главное правило для всего упражнения
Все свойства получаются из самой формулы функции:
- Точки графика: выбрать \(x\) и подставить его.
- Область определения: найти запрещённые значения \(x\).
- Область значений: определить, какие \(y\) могут получаться.
- Нули: решить \(f(x)=0\).
- Знак: решить \(f(x)>0\) и \(f(x)<0\).
- Возрастание или убывание: посмотреть, как меняется \(y\) при увеличении \(x\).
- Чётность: сравнить \(f(-x)\) с \(f(x)\) и \(-f(x)\).
