Реши задание на изображении
Краткий ответ
Для построения отметьте указанные точки и соедините их соответствующим образом:
| Функция | Точки для построения | Вид графика |
|---|---|---|
| \(y=-3x+1\) | \((0;1)\), \((1;-2)\) | прямая |
| \(y=2x+5\) | \((0;5)\), \((1;7)\) | прямая |
| \(y=-\dfrac3x\) | \((-3;1)\), \((-1;3)\), \((1;-3)\), \((3;-1)\) | гипербола |
| \(y=\dfrac1{2x}\) | \((-1;-\frac12)\), \((-\frac12;-1)\), \((\frac12;1)\), \((1;\frac12)\) | гипербола |
| \(y=-x^2\) | \((-2;-4)\), \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;-4)\) | парабола |
| \(y=-x^3\) | \((-2;8)\), \((-1;1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;-8)\) | кубическая парабола |
Свойства функций
а) \(y=-3x+1\)
- Область определения: \(\mathbb R\).
- Множество значений: \(\mathbb R\).
- Нуль функции:
\[ -3x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac13. \]
- Функция положительна при \(x<\frac13\), отрицательна при \(x>\frac13\).
- Убывает на всей числовой прямой.
- Ни чётная, ни нечётная.
- Не ограничена ни сверху, ни снизу.
График — прямая с угловым коэффициентом \(-3\), пересекающая ось \(Oy\) в точке \((0;1)\).
б) \(y=2x+5\)
- Область определения: \(\mathbb R\).
- Множество значений: \(\mathbb R\).
- Нуль функции:
\[ 2x+5=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac52. \]
- Функция отрицательна при \(x<-\frac52\), положительна при \(x>-\frac52\).
- Возрастает на всей числовой прямой.
- Ни чётная, ни нечётная.
- Не ограничена ни сверху, ни снизу.
График — прямая с угловым коэффициентом \(2\), пересекающая ось \(Oy\) в точке \((0;5)\).
в) \(y=-\dfrac3x\)
- Область определения:
\[ D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
- Множество значений:
\[ E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
- Нулей нет.
- При \(x<0\) функция положительна, при \(x>0\) отрицательна.
- Возрастает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
- Функция нечётная:
\[ f(-x)=-f(x). \]
- Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
- Не ограничена ни сверху, ни снизу.
Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
г) \(y=\dfrac1{2x}\)
- Область определения:
\[ D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
- Множество значений:
\[ E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
- Нулей нет.
- При \(x<0\) функция отрицательна, при \(x>0\) положительна.
- Убывает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).
- Функция нечётная.
- Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
- Не ограничена ни сверху, ни снизу.
Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
д) \(y=-x^2\)
- Область определения: \(\mathbb R\).
- Множество значений:
\[ E(y)=(-\infty;0]. \]
- Нуль функции: \(x=0\).
- При \(x\ne0\) функция отрицательна.
- Возрастает на \((-\infty;0]\).
- Убывает на \([0;+\infty)\).
- Функция чётная:
\[ f(-x)=f(x). \]
- Вершина параболы: \((0;0)\).
- Наибольшее значение: \(0\).
- Снизу не ограничена.
График — парабола, ветви направлены вниз, ось симметрии — ось \(Oy\).
е) \(y=-x^3\)
- Область определения: \(\mathbb R\).
- Множество значений: \(\mathbb R\).
- Нуль функции: \(x=0\).
- При \(x<0\) функция положительна, при \(x>0\) отрицательна.
- Убывает на всей числовой прямой.
- Функция нечётная:
\[ f(-x)=-f(x). \]
- Не ограничена ни сверху, ни снизу.
- Экстремумов нет.
График получается отражением графика \(y=x^3\) относительно оси \(Ox\).
Проверка
Подставим несколько выбранных точек:
\[ -3\cdot1+1=-2,\qquad 2\cdot1+5=7, \]
\[ -\frac3{1}=-3,\qquad \frac1{2\cdot1}=\frac12, \]
\[ -1^2=-1,\qquad -1^3=1. \]
Все точки верны.
