Реши,основываясь и на дано и на чертёж
Краткий ответ:
\[
\boxed{\angle B=140^\circ,\quad \angle C=115^\circ,\quad \angle D=65^\circ}
\]
На чертеже указано: \(\angle A=40^\circ\), \(\angle ABE=75^\circ\), \(AD\parallel BC\), \(BE\parallel CD\).
Решение
- Так как \(ABCD\) — трапеция, то \(AD\parallel BC\). Углы \(\angle A\) и \(\angle B\) — односторонние при параллельных прямых:
\[ \angle B=180^\circ-\angle A =180^\circ-40^\circ=140^\circ. \]
- Рассмотрим треугольник \(ABE\):
\[ \angle AEB=180^\circ-\angle BAE-\angle ABE \]
\[ \angle AEB=180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ. \]
- Так как \(BE\parallel CD\), а \(AE\) лежит на одной прямой с \(AD\), то соответствующие углы равны:
\[ \angle D=\angle AEB=65^\circ. \]
- В трапеции углы \(C\) и \(D\) также в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \angle C=180^\circ-\angle D =180^\circ-65^\circ=115^\circ. \]
Проверка:
\[ 40^\circ+140^\circ+115^\circ+65^\circ=360^\circ. \]
Ответ верный.
Обсуждение
8 сообщенийПоясни почему угол д равен углу АЕВ
Потому что эти углы образованы параллельными и коллинеарными лучами.
- \(\angle D=\angle CDA\) образован лучами \(DC\) и \(DA\);
- \(\angle AEB\) образован лучами \(EB\) и \(EA\);
- по условию \(BE\parallel CD\);
- точки \(A,D,E\) лежат на одной прямой, поэтому \(EA\) и \(DA\) имеют одно направление.
Значит, соответствующие углы равны:
\[ \angle AEB=\angle CDA=\angle D. \]
А так как
\[ \angle AEB=180^\circ-40^\circ-75^\circ=65^\circ, \]
то
\[ \boxed{\angle D=65^\circ}. \]
Поясни, почему угол AEB равен углу ADC
Потому что \(BE\parallel CD\), а точки \(A,D,E\) лежат на одной прямой.
Рассмотрим лучи:
- \(EA\) и \(DA\) направлены по одной прямой в одну сторону;
- \(EB\parallel DC\).
Значит, \(\angle AEB\) и \(\angle ADC\) — соответствующие углы при пересечении параллельных прямых \(BE\) и \(CD\) секущей \(ADE\). Поэтому
\[ \boxed{\angle AEB=\angle ADC}. \]
То есть угол при \(E\) переносится к вершине \(D\) без изменения величины.
Реши, основываясь и на дано и на чертёж
По чертежу даны:
\[ ABCD\text{ — трапеция},\quad AD\parallel BC,\quad AD=30, \] \[ \angle ABC=135^\circ,\quad \angle BDC=45^\circ,\quad \angle BCD=90^\circ. \]
Найти \(BC\).
1. Найдём углы треугольника \(ABD\)
Так как \(CD\perp BC\) и \(AD\parallel BC\), то
\[ CD\perp AD,\qquad \angle ADC=90^\circ. \]
Диагональ \(BD\) делит угол \(ADC\), поэтому
\[ \angle ADB=90^\circ-\angle BDC =90^\circ-45^\circ=45^\circ. \]
Так как \(AD\parallel BC\), внутренние односторонние углы при секущей \(AB\) supplementary:
\[ \angle DAB=180^\circ-\angle ABC =180^\circ-135^\circ=45^\circ. \]
Тогда в треугольнике \(ABD\):
\[ \angle ABD=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ. \]
Значит, \(\triangle ABD\) — равнобедренный прямоугольный, а \(AD=30\) — его гипотенуза:
\[ BD=\frac{AD}{\sqrt2} =\frac{30}{\sqrt2}=15\sqrt2. \]
2. Рассмотрим треугольник \(BCD\)
В нём:
\[ \angle BCD=90^\circ,\qquad \angle BDC=45^\circ, \]
значит, \(\angle CBD=45^\circ\), и треугольник \(BCD\) также равнобедренный прямоугольный.
Поэтому
\[ BC=\frac{BD}{\sqrt2} =\frac{15\sqrt2}{\sqrt2}=15. \]
\[ \boxed{BC=15} \]
Реши методами 8 класса
Решим без тригонометрии, используя свойства параллельных прямых и теорему Пифагора.
Дано:
\[ AD\parallel BC,\qquad AD=30, \] \[ \angle ABC=135^\circ,\qquad \angle BDC=45^\circ,\qquad \angle BCD=90^\circ. \]
Найти \(BC\).
1. Найдём углы треугольника \(ABD\)
Так как \(AD\parallel BC\), углы \(\angle DAB\) и \(\angle ABC\) — односторонние, поэтому:
\[ \angle DAB=180^\circ-135^\circ=45^\circ. \]
Поскольку \(\angle BCD=90^\circ\), то \(CD\perp BC\). А так как \(AD\parallel BC\), то и \(CD\perp AD\). Следовательно,
\[ \angle ADC=90^\circ. \]
Диагональ \(BD\) делит этот угол:
\[ \angle ADB=90^\circ-\angle BDC =90^\circ-45^\circ=45^\circ. \]
Значит, в треугольнике \(ABD\):
\[ \angle DAB=\angle ADB=45^\circ, \]
поэтому
\[ AB=BD, \]
а угол \(ABD\) равен \(90^\circ\).
2. Найдём \(BD\)
По теореме Пифагора в треугольнике \(ABD\):
\[ AD^2=AB^2+BD^2. \]
Так как \(AB=BD\), получаем:
\[ 30^2=BD^2+BD^2, \]
\[ 900=2BD^2, \]
\[ BD^2=450, \]
\[ BD=15\sqrt2. \]
3. Найдём \(BC\)
В треугольнике \(BCD\):
\[ \angle BCD=90^\circ,\qquad \angle BDC=45^\circ. \]
Тогда
\[ \angle CBD=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ. \]
Следовательно, треугольник \(BCD\) — равнобедренный прямоугольный:
\[ BC=CD. \]
По теореме Пифагора:
\[ BD^2=BC^2+CD^2=2BC^2. \]
Подставим \(BD=15\sqrt2\):
\[ (15\sqrt2)^2=2BC^2, \]
\[ 450=2BC^2, \]
\[ BC^2=225, \]
\[ \boxed{BC=15}. \]
