Реши уравнение a=12 b=5 альфа=120°,найди c,гамму и бетту

Ответ:
\[ c=\frac{\sqrt{501}-5}{2}\approx 8{,}69, \] \[ \beta\approx21{,}15^\circ,\qquad \gamma\approx38{,}85^\circ. \]

Считаем, что \(a,b,c\) — стороны треугольника, а \(\alpha,\beta,\gamma\) — противолежащие им углы.

1. Находим сторону \(c\)

По теореме косинусов: \[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha. \]

Подставим данные: \[ 12^2=5^2+c^2-2\cdot5c\cos120^\circ. \]

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем: \[ 144=25+c^2+5c, \] \[ c^2+5c-119=0. \]

\[ c=\frac{-5+\sqrt{501}}2\approx8{,}69. \]

Отрицательный корень не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной.

2. Находим угол \(\beta\)

По теореме синусов: \[ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}. \]

Тогда: \[ \sin\beta=\frac{b\sin\alpha}{a} =\frac{5\cdot\sin120^\circ}{12} =\frac{5\sqrt3}{24}. \]

\[ \beta=\arcsin\frac{5\sqrt3}{24}\approx21{,}15^\circ. \]

Второй вариант угла не подходит, потому что сумма углов треугольника не может превышать \(180^\circ\).

3. Находим угол \(\gamma\)

\[ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta, \] \[ \gamma=180^\circ-120^\circ-21{,}15^\circ \approx38{,}85^\circ. \]

Проверка:
\[ 120^\circ+21{,}15^\circ+38{,}85^\circ=180^\circ. \]