реши 64,66,68 я должна написать на тетради
Краткий ответ
64.
а) \((x-3)^2-11\);
б) \(\left(x+\frac52\right)^2+\frac{55}{4}\);
в) \(2(x-1)^2+8\);
г) \(\frac12(x+1)^2-\frac{13}{2}\).
66.
а) значение положительное;
б) неотрицательное;
в) неположительное;
г) отрицательное.
68. \(x=1\), наименьшее значение — \(4\).
Решение
Используем формулу:
\[ (a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2. \]
Квадрат любого числа неотрицателен:
\[ (x-a)^2\geq 0. \]
№ 64
а)
\[ x^2-6x-2=x^2-6x+9-9-2 \]
\[ \boxed{x^2-6x-2=(x-3)^2-11} \]
б)
\[ x^2+5x+20=x^2+5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+20 \]
\[ \boxed{x^2+5x+20=\left(x+\frac52\right)^2+\frac{55}{4}} \]
в)
\[ 2x^2-4x+10=2(x^2-2x)+10 \]
\[ =2\big((x-1)^2-1\big)+10 \]
\[ \boxed{2x^2-4x+10=2(x-1)^2+8} \]
г)
\[ \frac12x^2+x-6=\frac12(x^2+2x)-6 \]
\[ =\frac12\big((x+1)^2-1\big)-6 \]
\[ \boxed{\frac12x^2+x-6=\frac12(x+1)^2-\frac{13}{2}} \]
№ 66
а)
\[ x^2-6x+10=(x-3)^2+1. \]
Так как \((x-3)^2\geq0\), то
\[ (x-3)^2+1\geq1>0. \]
Значение положительное.
б)
\[ 5x^2-10x+5=5(x^2-2x+1)=5(x-1)^2. \]
Так как \((x-1)^2\geq0\), то
\[ 5(x-1)^2\geq0. \]
Значение неотрицательное.
в)
\[ -x^2+20x-100=-(x^2-20x+100)=-(x-10)^2. \]
Так как \((x-10)^2\geq0\), то
\[ -(x-10)^2\leq0. \]
Значение неположительное.
г)
\[ -2x^2+16x-33=-2(x^2-8x)-33 \]
\[ =-2\big((x-4)^2-16\big)-33 \]
\[ =-2(x-4)^2-1. \]
Так как \(-2(x-4)^2\leq0\), то
\[ -2(x-4)^2-1\leq-1<0. \]
Значение отрицательное.
№ 68
\[ 2x^2-4x+6=2(x^2-2x)+6 \]
\[ =2\big((x-1)^2-1\big)+6 \]
\[ =2(x-1)^2+4. \]
Поскольку
\[ (x-1)^2\geq0, \]
наименьшее значение выражения достигается при
\[ x-1=0,\qquad x=1. \]
Тогда
\[ 2\cdot0^2+4=4. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=1,\quad \min=4}. \]
Проверка:
\[ 2\cdot1^2-4\cdot1+6=2-4+6=4. \]
Обсуждение
2 сообщения64 подробнее
№ 64. Представим выражения в виде квадрата двучлена и числа
Используем формулу:
\[ (a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2. \]
Чтобы получить полный квадрат, к выражению добавляем и вычитаем одно и то же число.
а) \(\boldsymbol{x^2-6x-2}\)
Половина коэффициента при \(x\):
\[ \frac{-6}{2}=-3. \]
Квадрат этого числа:
\[ (-3)^2=9. \]
Добавим и вычтем \(9\):
\[ x^2-6x-2=x^2-6x+9-9-2. \]
Первые три слагаемых — квадрат двучлена:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2. \]
Значит,
\[ \boxed{x^2-6x-2=(x-3)^2-11}. \]
б) \(\boldsymbol{x^2+5x+20}\)
Половина коэффициента при \(x\):
\[ \frac{5}{2}. \]
Квадрат этого числа:
\[ \left(\frac52\right)^2=\frac{25}{4}. \]
Добавим и вычтем \(\frac{25}{4}\):
\[ x^2+5x+20= x^2+5x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+20. \]
Первые три слагаемых образуют квадрат:
\[ x^2+5x+\frac{25}{4} =\left(x+\frac52\right)^2. \]
Вычислим оставшиеся числа:
\[ 20-\frac{25}{4} =\frac{80}{4}-\frac{25}{4} =\frac{55}{4}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{x^2+5x+20= \left(x+\frac52\right)^2+\frac{55}{4}}. \]
в) \(\boldsymbol{2x^2-4x+10}\)
Сначала вынесем \(2\) за скобки из первых двух слагаемых:
\[ 2x^2-4x+10=2(x^2-2x)+10. \]
Половина коэффициента при \(x\) в скобках:
\[ \frac{-2}{2}=-1, \]
его квадрат:
\[ (-1)^2=1. \]
Добавим и вычтем \(1\) в скобках:
\[ 2(x^2-2x)+10 =2\bigl(x^2-2x+1-1\bigr)+10. \]
Получаем квадрат:
\[ x^2-2x+1=(x-1)^2. \]
Тогда
\[ 2\bigl((x-1)^2-1\bigr)+10 =2(x-1)^2-2+10. \]
Следовательно,
\[ \boxed{2x^2-4x+10=2(x-1)^2+8}. \]
г) \(\boldsymbol{\frac12x^2+x-6}\)
Вынесем \(\frac12\) за скобки:
\[ \frac12x^2+x-6 =\frac12(x^2+2x-12). \]
Половина коэффициента при \(x\):
\[ \frac{2}{2}=1, \]
квадрат этого числа:
\[ 1^2=1. \]
Добавим и вычтем \(1\):
\[ \frac12(x^2+2x-12) =\frac12(x^2+2x+1-1-12). \]
Так как
\[ x^2+2x+1=(x+1)^2, \]
получаем:
\[ \frac12\bigl((x+1)^2-13\bigr) =\frac12(x+1)^2-\frac{13}{2}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac12x^2+x-6 =\frac12(x+1)^2-\frac{13}{2}}. \]
