Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Решение квадратного уравнения
Мне нужно дать ответ на русском языке, начав с краткого ответа, а затем объяснив шаги. Я решу квадратное уравнение x² - 5x + 6 = 0, разложив его на множители: (x-2)(x-3) = 0, откуда получаются корни 2 и 3. Я подтвержу вычисления, подставив эти корни обратно в исходное уравнение. Также я объясню принцип свойства нулевого произведения и то, что проверка показывает правильность решений. Затем я задам пользователю связанный вопрос об использовании дискриминанта.
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
Найдём два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма — \(5\): это \(2\) и \(3\).
Разложим квадратный трёхчлен на множители: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда: \[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда: \[ \boxed{x=2 \text{ или } x=3}. \]
Проверка: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Обсуждение
3 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) там не появляется заново — это то же неизвестное из исходного уравнения. Мы просто переписываем выражение \(x^2-5x+6\) в виде произведения.
Почему: \[ (x-2)(x-3) \]
Раскроем скобки: \[ (x-2)(x-3)=x\cdot x-3x-2x+6. \]
Объединим похожие слагаемые: \[ x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
Значит, \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Числа \(2\) и \(3\) выбраны потому, что: \[ 2\cdot3=6,\qquad 2+3=5. \]
Поэтому исходное уравнение можно записать так: \[ (x-2)(x-3)=0. \]
А произведение равно нулю, если: \[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда: \[ \boxed{x=2 \text{ или } x=3}. \]
