Реши задание на изображении
Решение задач по изображению
Мне необходимо внимательно проанализировать изображение, чтобы решить представленные задачи. В Задаче 1 мне нужно вычислить определитель 3x3 со строками [5,1,-1], [0,2,4] и [1,-1,1]. В Задаче 2 я применю метод Крамера для решения системы уравнений. Задача 3 также включает матричные операции, которые нужно точно вычислить. Для ясности при последовательной работе над каждой частью важно сначала представить краткий ответ, а затем подробно описать шаги.
Вычисление определителей и алгебраических дополнений
Мне нужно быть внимательным при использовании формулы для третьего алгебраического дополнения. Для a13 я беру -1, умноженное на определитель минора, который вычисляется как 0*(-1) - 2*1 = -2, что даёт алгебраическое дополнение +2. Для среднего слагаемого я использую -a12, получая -1, умноженное на -4, то есть +4. В итоге получается 36.
В Задаче 2 я буду работать с коэффициентами в методе Крамера для определителя D, вычисляя его пошагово. Проверка показывает, что D равен 3.
Проверка вычислений
Мне нужно убедиться, что моё выражение включает всё правильно. Проверяемое уравнение имеет вид \(D=1((-1)4-2\cdot1)-1(1\cdot4-2\cdot4)+1(1\cdot1-(-1)\cdot4)\), и я считаю, что результат верен. Я вычислил его как -6+4+5, что в сумме даёт 3. Всё выглядит правильно, но я ещё раз проверю, чтобы убедиться в отсутствии ошибок. Точность важна, поэтому я хочу быть уверен в своих вычислениях!
Краткий ответ
\[ \boxed{D=36} \]
\[ \boxed{x=1,\quad y=2,\quad z=-2} \]
\[ \boxed{ \begin{pmatrix} 4&-5&2\\ -2&-8&8 \end{pmatrix}} \]
Решение
Задача 1
Разложим определитель по первой строке:
\[ D= \begin{vmatrix} 5&1&-1\\ 0&2&4\\ 1&-1&1 \end{vmatrix} \]
\[ D=5 \begin{vmatrix} 2&4\\ -1&1 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 0&4\\ 1&1 \end{vmatrix} +(-1) \begin{vmatrix} 0&2\\ 1&-1 \end{vmatrix} \]
\[ D=5(2\cdot1-4\cdot(-1)) -(0\cdot1-4\cdot1) +(-1)(0\cdot(-1)-2\cdot1) \]
\[ D=5\cdot6+4+2=36. \]
Ответ:
\[ \boxed{D=36} \]
Задача 2. Метод Крамера
Система:
\[ \begin{cases} x+y+z=1,\\ x-y+2z=-5,\\ 4x+y+4z=-2. \end{cases} \]
Главный определитель:
\[ D= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&2\\ 4&1&4 \end{vmatrix} =3. \]
Так как \(D\ne0\), система имеет единственное решение.
Заменяем по очереди столбцы коэффициентов столбцом свободных членов:
\[ D_x= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ -5&-1&2\\ -2&1&4 \end{vmatrix} =3, \]
\[ D_y= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-5&2\\ 4&-2&4 \end{vmatrix} =6, \]
\[ D_z= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&-5\\ 4&1&-2 \end{vmatrix} =-6. \]
По формулам Крамера:
\[ x=\frac{D_x}{D}=\frac{3}{3}=1, \]
\[ y=\frac{D_y}{D}=\frac{6}{3}=2, \]
\[ z=\frac{D_z}{D}=\frac{-6}{3}=-2. \]
Проверка:
\[ 1+2-2=1, \]
\[ 1-2+2(-2)=-5, \]
\[ 4\cdot1+2+4(-2)=-2. \]
Все равенства выполняются.
Задача 3
Сначала перемножим матрицы:
\[ \begin{pmatrix} 2&3\\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&-1\\ 2&0&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1+3\cdot2&2\cdot2+3\cdot0&2(-1)+3\cdot3\\ -1\cdot1+0\cdot2&-1\cdot2+0\cdot0&(-1)(-1)+0\cdot3 \end{pmatrix} \]
\[ = \begin{pmatrix} 8&4&7\\ -1&-2&1 \end{pmatrix}. \]
Теперь вычтем третью матрицу:
\[ \begin{pmatrix} 8&4&7\\ -1&-2&1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4&9&5\\ 1&6&-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-4&4-9&7-5\\ -1-1&-2-6&1-(-7) \end{pmatrix} \]
\[ = \boxed{ \begin{pmatrix} 4&-5&2\\ -2&-8&8 \end{pmatrix}}. \]
