Реши номер 96 и 97
Краткий ответ
№ 96
а)
\[
\frac{a+4}{a^2-2a}-\frac{a}{a^2-4}
=\frac{2(3a+4)}{a(a-2)(a+2)}
\]
при \(a\ne0,\pm2\).
б)
\[
\frac{4-x^2}{16-x^2}-\frac{x+1}{x+4}
=\frac{3x}{x^2-16}
\]
при \(x\ne\pm4\).
в)
\[
\frac{(a+b)^2}{a^2+ab}+\frac{(a-b)^2}{a^2-ab}=2
\]
при \(a\ne0,\ a\ne b,\ a\ne-b\).
г)
\[
\frac{x^2-4}{5x-10}-\frac{x^2+4x+4}{5x+10}=0
\]
при \(x\ne\pm2\).
№ 97
а)
\[
\frac{x+1}{x^2-x}-\frac{x+2}{x^2-1}
=\frac1{x(x-1)(x+1)}
\]
при \(x\ne-1,0,1\).
б)
\[
\frac{x+2}{x^2+3x}-\frac{1+x}{x^2-9}
=-\frac2{x(x-3)}
\]
при \(x\ne-3,0,3\).
Численное значение в № 97 найти пока нельзя: на фотографии не видно, при каком значении \(x\) его нужно вычислить.
Ключевые шаги
Главный принцип: разложить знаменатели на множители, привести дроби к общему знаменателю и сократить множители, а не отдельные слагаемые.
№ 96
а)
\[
a^2-2a=a(a-2),\qquad a^2-4=(a-2)(a+2).
\]
\[ \begin{aligned} \frac{a+4}{a(a-2)}-\frac{a}{(a-2)(a+2)} &=\frac{(a+4)(a+2)-a^2}{a(a-2)(a+2)}\\ &=\frac{a^2+6a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)}\\ &=\frac{2(3a+4)}{a(a-2)(a+2)}. \end{aligned} \]
б)
\[
\begin{aligned}
\frac{4-x^2}{16-x^2}-\frac{x+1}{x+4}
&=\frac{(4-x^2)(x+4)-(x+1)(16-x^2)}
{(16-x^2)(x+4)}\\
&=\frac{-3x(x+4)}{(16-x^2)(x+4)}\\
&=-\frac{3x}{16-x^2}
=\frac{3x}{x^2-16}.
\end{aligned}
\]
в)
\[
a^2+ab=a(a+b),\qquad a^2-ab=a(a-b).
\]
\[ \begin{aligned} \frac{(a+b)^2}{a(a+b)}+\frac{(a-b)^2}{a(a-b)} &=\frac{a+b}{a}+\frac{a-b}{a}\\ &=\frac{2a}{a}=2. \end{aligned} \]
г)
\[
x^2-4=(x-2)(x+2),\quad
5x-10=5(x-2),
\]
\[
x^2+4x+4=(x+2)^2,\quad
5x+10=5(x+2).
\]
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{5(x-2)} -\frac{(x+2)^2}{5(x+2)} =\frac{x+2}{5}-\frac{x+2}{5}=0. \]
№ 97
а)
\[
x^2-x=x(x-1),\qquad x^2-1=(x-1)(x+1).
\]
\[ \begin{aligned} \frac{x+1}{x(x-1)}-\frac{x+2}{(x-1)(x+1)} &=\frac{(x+1)^2-x(x+2)} {x(x-1)(x+1)}\\ &=\frac{x^2+2x+1-x^2-2x} {x(x-1)(x+1)}\\ &=\frac1{x(x-1)(x+1)}. \end{aligned} \]
б)
\[
x^2+3x=x(x+3),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3).
\]
\[ \begin{aligned} \frac{x+2}{x(x+3)}-\frac{x+1}{(x-3)(x+3)} &=\frac{(x+2)(x-3)-x(x+1)} {x(x-3)(x+3)}\\ &=\frac{x^2-x-6-x^2-x} {x(x-3)(x+3)}\\ &=\frac{-2(x+3)}{x(x-3)(x+3)}\\ &=-\frac2{x(x-3)}. \end{aligned} \]
