Реши задание на изображении
Краткий ответ
- \(x=-3\) и \(x=3\).
- \(x=5\).
- а) \(\displaystyle \frac{8x+1}{36x^2}\);
б) \(\displaystyle \frac{-a^2+6a+8}{a^2-4}\);
в) \(\displaystyle \frac{6a}{4a^2-1}\);
г) \(\displaystyle \frac{3(1-x)}{x-2}\).
Решение
1. Дробь
\[
\frac{5x}{x^2-9}
\]
не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю:
\[
x^2-9=0,\qquad (x-3)(x+3)=0.
\]
Отсюда:
\[
x=3 \quad\text{или}\quad x=-3.
\]
2. \[ \frac{x+1}{x-1}=1{,}5,\qquad x\ne1. \] Умножим обе части на \(x-1\): \[ x+1=1{,}5(x-1). \] \[ x+1=1{,}5x-1{,}5, \] \[ 2{,}5=0{,}5x, \] \[ x=5. \]
Проверка: \[ \frac{5+1}{5-1}=\frac64=1{,}5. \]
3а. \[ \frac{2x+1}{12x^2}+\frac{x-1}{18x^2}. \] Общий знаменатель — \(36x^2\): \[ \frac{3(2x+1)+2(x-1)}{36x^2} =\frac{6x+3+2x-2}{36x^2} =\frac{8x+1}{36x^2}. \]
3б. \[ \frac4{a-2}-\frac a{a+2} =\frac{4(a+2)-a(a-2)}{(a-2)(a+2)}. \] \[ =\frac{4a+8-a^2+2a}{a^2-4} =\frac{-a^2+6a+8}{a^2-4}. \]
3в. \[ \frac{a+1}{2a-1}-\frac{a-1}{2a+1} \] \[ =\frac{(a+1)(2a+1)-(a-1)(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}. \] \[ =\frac{2a^2+3a+1-(2a^2-3a+1)}{4a^2-1} =\frac{6a}{4a^2-1}. \]
3г. \[ \frac{x+2}{x^2-4}-\frac{3x-2}{x-2}. \] Разложим разность квадратов: \[ x^2-4=(x-2)(x+2). \] Тогда \[ \frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{3x-2}{x-2} =\frac1{x-2}-\frac{3x-2}{x-2}. \] \[ =\frac{1-(3x-2)}{x-2} =\frac{3-3x}{x-2} =\frac{3(1-x)}{x-2}. \]
Ограничения: в пункте а) \(x\ne0\), в б) \(a\ne\pm2\), в в) \(a\ne\pm\frac12\), в г) \(x\ne\pm2\).
