Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. найдите а)высоту цилиндра б)площадь основания цилиндра
Краткий ответ:
а) Высота цилиндра:
\[
h=10\sqrt2\text{ см}
\]
б) Площадь основания:
\[
S_{\text{осн}}=50\pi\text{ см}^2
\]
Решение:
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, у которого стороны равны высоте цилиндра \(h\) и диаметру основания \(d\). Так как сечение является квадратом, то:
\[ h=d=a, \]
где \(a\) — сторона квадрата.
Диагональ квадрата равна \(20\) см. По теореме Пифагора:
\[ a\sqrt2=20, \]
откуда
\[ a=\frac{20}{\sqrt2}=10\sqrt2\text{ см}. \]
Значит,
\[ h=10\sqrt2\text{ см}, \qquad d=10\sqrt2\text{ см}. \]
Радиус основания:
\[ r=\frac d2=\frac{10\sqrt2}{2}=5\sqrt2\text{ см}. \]
Площадь основания:
\[ S_{\text{осн}}=\pi r^2=\pi(5\sqrt2)^2=50\pi\text{ см}^2. \]
Проверка:
\[ \sqrt{(10\sqrt2)^2+(10\sqrt2)^2} =\sqrt{200+200} =\sqrt{400}=20\text{ см}. \]
Обсуждение
12 сообщенийподробнее
Рассмотрим подробно.
1. Что представляет собой осевое сечение цилиндра
Осевое сечение — это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось.
У цилиндра такое сечение является прямоугольником:
- одна сторона прямоугольника — высота цилиндра \(h\);
- другая сторона — диаметр основания \(d=2r\).
По условию осевое сечение — квадрат, поэтому его стороны равны:
\[ h=d. \]
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда:
\[ h=a,\qquad d=a. \]
Диагональ квадрата равна \(20\) см.
2. Находим сторону квадрата
У квадрата диагональ связана со стороной формулой:
\[ D=a\sqrt2. \]
Подставим \(D=20\) см:
\[ 20=a\sqrt2. \]
Отсюда:
\[ a=\frac{20}{\sqrt2} =\frac{20\sqrt2}{2} =10\sqrt2\text{ см}. \]
3. Находим высоту цилиндра
Высота цилиндра равна стороне осевого сечения:
\[ \boxed{h=10\sqrt2\text{ см}}. \]
4. Находим радиус основания
Сторона квадрата, равная диаметру основания:
\[ d=10\sqrt2\text{ см}. \]
Радиус равен половине диаметра:
\[ r=\frac d2=\frac{10\sqrt2}{2}=5\sqrt2\text{ см}. \]
5. Находим площадь основания
Основание цилиндра — круг. Его площадь вычисляется по формуле:
\[ S_{\text{осн}}=\pi r^2. \]
Подставим \(r=5\sqrt2\):
\[ S_{\text{осн}}=\pi(5\sqrt2)^2. \]
Возводим в квадрат:
\[ (5\sqrt2)^2=25\cdot2=50. \]
Следовательно,
\[ \boxed{S_{\text{осн}}=50\pi\text{ см}^2}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\text{а) }h=10\sqrt2\text{ см}} \]
\[ \boxed{\text{б) }S_{\text{осн}}=50\pi\text{ см}^2} \]
рисунок к задаче
Вот схематичный рисунок осевого сечения цилиндра:
A────────────B
│\ │
│ \ │
│ \ │
h │ \ D=20 см│
│ \ │
│ \ │
D────────────C
d=2r
Осевое сечение — квадрат \(ABCD\), поэтому:
- \(AD=BC=h\) — высота цилиндра;
- \(AB=DC=d=2r\) — диаметр основания;
- \(AC=20\) см — диагональ квадрата.
Для рисунка можно подписать:
\[ h=d=10\sqrt2\text{ см},\qquad r=5\sqrt2\text{ см}. \]
Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м?, а площадь основания равна 5 м'. Найдите высоту цилиндра.
рисунок к задаче
Вот схематичный рисунок к задаче:
Осевое сечение цилиндра
Осевое сечение — прямоугольник, у которого стороны \(h\) и \(d=2r\):
2r = d
┌──────────────┐
│ │
│ │
h │ │
│ │
│ │
└──────────────┘
Sосев. сеч. = h · 2r = 10 м²
Основание цилиндра
Основание — круг:
.-''''-.
.-' '-.
.' O───────●
/ r \
\ /
'. .'
'-.________.-'
Sосн. = 5 м²
Здесь \(O\) — центр основания, \(r\) — радиус, \(d=2r\) — диаметр.
Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м?, а площадь основания равна 5 м'. Найдите высоту цилиндра.
Считаем, что в условии указано:
\[
S_{\text{осев. сечения}}=10\ \text{м}^2,\qquad
S_{\text{осн}}=5\ \text{м}^2.
\]
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(h\) и \(2r\), поэтому:
\[ S_{\text{осев. сечения}}=2rh. \]
Площадь основания:
\[ S_{\text{осн}}=\pi r^2=5. \]
Отсюда:
\[ r^2=\frac{5}{\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{5}{\pi}}\text{ м}. \]
Теперь найдём высоту:
\[ 2rh=10, \]
\[ h=\frac{10}{2r}=\frac{5}{\sqrt{5/\pi}} =\sqrt{5\pi}\text{ м}. \]
Ответ:
\[ \boxed{h=\sqrt{5\pi}\text{ м}\approx3{,}96\text{ м}}. \]
рисунок
Вот схематичный рисунок к задаче.
Цилиндр и его осевое сечение
.─────────────.
.-' '-.
.' '.
/ \
│ │
│ │ h
│ │
\ /
'. .'
'-._______________.-'
←── 2r ──→
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник:
┌───────────────┐
│ │
│ │
h │ │
│ │
│ │
└───────────────┘
2r = d
Sосев. сеч. = h · 2r = 10 м²
Основание цилиндра — круг:
.────────.
.-' '-.
.' '.
/ O──────● \
\ r /
'. .'
'-.__________.-'
Sосн = 5 м²
Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: а) h, если г=10 дм, 327 d=8 дм, АВ=13 дм; б) d, если h см, г= 5 см, АВ = 10 см.
