Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
Разложим левую часть на множители. Нужно найти два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма — \(-5\). Это числа \(-2\) и \(-3\):
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня верны.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) не появился заново — это то же неизвестное из исходного уравнения.
Мы записали:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Почему это верно? Раскроем скобки:
\[ (x-2)(x-3). \]
Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:
\[ x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3). \]
Получаем:
\[ x^2-3x-2x+6. \]
Собираем похожие слагаемые:
\[ x^2-5x+6. \]
То есть:
\[ (x-2)(x-3)=x^2-5x+6. \]
Поэтому исходное уравнение можно переписать так:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
А произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Отсюда:
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
