Привет! Реши задания по геометрии на тему «Уравнения окружности и прямой» Смотря на рисунке, сделай все задания. Пожалуйста 🙏

Краткие ответы

Решить задания

1. Точка \(A(2;-1)\) не лежит на окружности.
2. \((x-4)^2+(y-5)^2=9\).
3. \(x=3\).
4. \(x^2+y^2=13\).
5. \(2x-5y-1=0\).
6. \(|\vec a|=13\).
7. \(M(4;-5)\).
8. \(\overrightarrow{AB}=(-5;9)\).

Домашнее задание

1. Точка \(A(2;-1)\) лежит на прямой.
2. \((x-4)^2+(y-5)^2=4\).
3. \(y=3\).
4. \(2x+3y=0\).
5. \((x+2)^2+(y+1)^2=25\).
6. \(AB=5\).
7. \(\vec c=(-5;2)\).
8. \(\overrightarrow{CD}=(4;-8)\).

---

Решение

Задания

1. Проверим точку в уравнении окружности:

\[ (x-2)^2+(y-3)^2=25. \]

Подставим \(A(2;-1)\):

\[ (2-2)^2+(-1-3)^2=0^2+(-4)^2=16. \]

Так как \(16\ne25\), точка не лежит на окружности.

---

2. Формула окружности с центром \((a;b)\) и радиусом \(R\):

\[ (x-a)^2+(y-b)^2=R^2. \]

При \(a=4\), \(b=5\), \(R=3\):

\[ \boxed{(x-4)^2+(y-5)^2=9}. \]

---

3. Прямая, параллельная оси ординат, является вертикальной и имеет вид \(x=c\).

Она проходит через \(M(3;-2)\), поэтому:

\[ \boxed{x=3}. \]

---

4. Центр окружности находится в начале координат, поэтому:

\[ x^2+y^2=R^2. \]

Радиус найдём по точке \(C(-2;3)\):

\[ R^2=(-2)^2+3^2=4+9=13. \]

Следовательно,

\[ \boxed{x^2+y^2=13}. \]

---

5. Найдём угловой коэффициент прямой через точки \(M(-2;-1)\) и \(N(3;1)\):

\[ k=\frac{1-(-1)}{3-(-2)}=\frac25. \]

Используем точку \(M\):

\[ y+1=\frac25(x+2). \]

Умножим на \(5\):

\[ 5y+5=2x+4, \]

\[ \boxed{2x-5y-1=0}. \]

Проверка:

• для \(M(-2;-1)\): \(-4+5-1=0\);
• для \(N(3;1)\): \(6-5-1=0\).

---

6. Длина вектора \(\vec a(x;y)\) вычисляется так:

\[ |\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}. \]

Для \(\vec a=(-12;5)\):

\[ |\vec a|=\sqrt{(-12)^2+5^2} =\sqrt{144+25} =\sqrt{169} =\boxed{13}. \]

---

7. Координаты середины отрезка:

\[ M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right). \]

Для \(P(5;-3)\) и \(Q(3;-7)\):

\[ M\left(\frac{5+3}{2};\frac{-3-7}{2}\right) =\boxed{(4;-5)}. \]

---

8. Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\):

\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A). \]

\[ \overrightarrow{AB}=(-3-2;4-(-5)) =\boxed{(-5;9)}. \]

---

Домашнее задание

1. Подставим координаты \(A(2;-1)\) в уравнение прямой:

\[ 2x-3y-7=0. \]

\[ 2\cdot2-3\cdot(-1)-7=4+3-7=0. \]

Равенство выполняется, значит точка:

\[ \boxed{\text{лежит на прямой}}. \]

---

2. Центр \((4;5)\), радиус \(R=2\):

\[ \boxed{(x-4)^2+(y-5)^2=4}. \]

---

3. Прямая, параллельная оси абсцисс, является горизонтальной и имеет вид \(y=c\).

Она проходит через \(N(-2;3)\), поэтому:

\[ \boxed{y=3}. \]

---

4. Прямая проходит через начало координат \(O(0;0)\) и точку \(D(3;-2)\).

Её угловой коэффициент:

\[ k=\frac{-2-0}{3-0}=-\frac23. \]

Уравнение:

\[ y=-\frac23x. \]

В общем виде:

\[ \boxed{2x+3y=0}. \]

---

5. Радиус окружности — это расстояние от центра \(P(-2;-1)\) до точки \(Q(1;3)\):

\[ R^2=(1-(-2))^2+(3-(-1))^2 =3^2+4^2=25. \]

Уравнение окружности:

\[ \boxed{(x+2)^2+(y+1)^2=25}. \]

---

6. Расстояние между точками:

\[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. \]

\[ AB=\sqrt{(2-(-1))^2+(-1-3)^2} =\sqrt{3^2+(-4)^2} =\sqrt{25} =\boxed{5}. \]

---

7. Сумма векторов находится сложением соответствующих координат:

\[ \vec c=\vec a+\vec b. \]

\[ \vec c=(-12;5)+(7;-3) =(-12+7;5-3) =\boxed{(-5;2)}. \]

---

8. Координаты вектора \(\overrightarrow{CD}\):

\[ \overrightarrow{CD}=(x_D-x_C;y_D-y_C). \]

\[ \overrightarrow{CD}=(3-(-1);-2-6) =\boxed{(4;-8)}. \]