Номер 162
Краткий ответ:
а) \( \angle CAD=\angle BAE\), \(AB=AC\);
б) \(BD=CE\), \(AB=AC\).
Доказательство
Так как \(\triangle ADE\) равнобедренный с основанием \(DE\), то
\[ AD=AE,\qquad \angle ADE=\angle DEA. \]
Поскольку точки \(D,B,C,E\) лежат на одной прямой,
\[ \angle ADB=\angle AEC. \tag{1} \]
Рассмотрим треугольники \(ADB\) и \(AEC\).
а) Если \(BD=CE\)
Имеем:
\[ AD=AE,\qquad BD=CE,\qquad \angle ADB=\angle AEC. \]
Следовательно,
\[ \triangle ADB\cong\triangle AEC \]
по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда:
\[ AB=AC,\qquad \angle BAD=\angle CAE. \]
Теперь разложим углы:
\[ \angle CAD=\angle CAB+\angle BAD, \]
\[ \angle BAE=\angle BAC+\angle CAE. \]
Так как \(\angle CAB=\angle BAC\) и \(\angle BAD=\angle CAE\), то
\[ \boxed{\angle CAD=\angle BAE}. \]
б) Если \(\angle CAD=\angle BAE\)
Разложим данные углы:
\[ \angle CAD=\angle CAB+\angle BAD, \]
\[ \angle BAE=\angle BAC+\angle CAE. \]
Углы \(\angle CAB\) и \(\angle BAC\) равны, поэтому из условия следует:
\[ \angle BAD=\angle CAE. \tag{2} \]
Из (1), (2) и равенства \(AD=AE\) получаем:
\[ \triangle ADB\cong\triangle AEC \]
по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно,
\[ \boxed{AB=AC},\qquad \boxed{BD=CE}. \]
Проверка: в обоих пунктах сравниваются одни и те же треугольники \(ADB\) и \(AEC\); меняется только признак их равенства: в пункте а) — \(SAS\), в пункте б) — \(ASA\).
