Объясни понятно

Кратко: функция — это правило, по которому каждому допустимому значению \(x\) соответствует ровно одно значение \(y\).

1. Как понять, что такое функция

Представь «машину»:

\[ x \longrightarrow \text{правило} \longrightarrow y \]

Например, функция

\[ y=x^2. \]

Подставим несколько значений:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=x^2&4&1&0&1&4 \end{array} \]

Каждому \(x\) соответствует только одно \(y\):

• \(x=2 \Rightarrow y=4\);
• \(x=-2 \Rightarrow y=4\).

То, что разные значения \(x\) могут дать одно и то же \(y\), не мешает функции.

2. Область определения

Область определения функции — все значения \(x\), которые можно подставить в формулу.

Обозначают:

\[ D(f). \]

Для функции \(y=x^2\) можно подставить любое число, поэтому

\[ D(f)=\mathbb R. \]

Особые случаи:

• в знаменателе нельзя получать ноль: \[ y=\frac1{x-3}, \quad x\ne3; \]
• подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным: \[ y=\sqrt{x-2}, \quad x\ge2. \]

3. Область значений

Область значений функции — все значения \(y\), которые получаются при допустимых \(x\).

Обозначают:

\[ E(f). \]

Для \(y=x^2\):

\[ y\ge0, \]

потому что квадрат числа не может быть отрицательным. Значит,

\[ E(f)=[0;+\infty). \]

Главное правило

Чтобы проверить, является ли зависимость функцией, спроси:

Может ли одному значению \(x\) соответствовать несколько значений \(y\)?

Если нет — это функция.

Для \(y=x^2\):

• область определения: \(\mathbb R\);
• область значений: \([0;+\infty)\);
• проверить можно так: \(x=3\Rightarrow y=9\), а отрицательного значения \(y\) получить нельзя.