Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: а) h, если г=10 дм, 327 d=8 дм, АВ=13 дм; б) d, если h см, г= 5 см, АВ = 10 см.

Краткий ответ:
а) \(h=5\) дм.
б) В условии пропущено значение \(h\); при данных \(r=5\) см и \(AB=10\) см получается
\[ d=\frac h2. \]

Решение

Пусть \(x\) — длина проекции отрезка \(AB\) на плоскость основания цилиндра. Тогда: \[ AB^2=x^2+h^2. \]

Проекция \(AB\) — хорда окружности радиуса \(r\), находящаяся на расстоянии \(d\) от центра. Поэтому: \[ \left(\frac{x}{2}\right)^2+d^2=r^2, \] откуда \[ x=2\sqrt{r^2-d^2}. \]

а)

\[ x=2\sqrt{10^2-8^2} =2\sqrt{36}=12\text{ дм}. \]

Тогда \[ h=\sqrt{AB^2-x^2} =\sqrt{13^2-12^2} =\sqrt{25}=5\text{ дм}. \]

Проверка: \[ 5^2+12^2=13^2. \]

б)

\[ d^2=r^2-\frac{AB^2-h^2}{4} =25-\frac{100-h^2}{4} =\frac{h^2}{4}. \]

Так как \(d>0\), то \[ \boxed{d=\frac h2}. \]

Каково числовое значение \(h\) в пункте б)?