Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: а) h, если г=10 дм, 327 d=8 дм, АВ=13 дм; б) d, если h см, г= 5 см, АВ = 10 см.
Краткий ответ:
а) \(h=5\) дм.
б) \(d=\dfrac h2\). Численное значение найти нельзя, так как значение \(h\) в условии не указано.
Решение. Пусть \(l=AB\). Горизонтальная проекция отрезка \(AB\) имеет длину
\[ l_{\text{пр}}=\sqrt{AB^2-h^2}. \]
Эта проекция является хордой окружности радиуса \(r\), расстояние от центра которой до хорды равно \(d\). Поэтому
\[ r^2=d^2+\left(\frac{l_{\text{пр}}}{2}\right)^2, \]
то есть
\[ AB^2=h^2+4(r^2-d^2). \]
а)
\[ h^2=13^2-4(10^2-8^2) =169-4\cdot36 =169-144=25, \]
\[ \boxed{h=5\text{ дм}}. \]
б)
\[ d^2=r^2-\frac{AB^2-h^2}{4} =25-\frac{100-h^2}{4} =\frac{h^2}{4}, \]
\[ \boxed{d=\frac h2}. \]
Обсуждение
4 сообщенияподробнее
Обозначим через \(A'\) и \(B'\) проекции точек \(A\) и \(B\) на плоскость основания цилиндра. Тогда \(A'\) и \(B'\) лежат на одной окружности радиуса \(r\), а \(A'B'\) — её хорда.
Расстояние от центра окружности \(O\) до хорды \(A'B'\) равно \(d\). Если \(M\) — середина хорды, то
\[ OA'=r,\qquad OM=d,\qquad A'M=\frac{A'B'}2. \]
Из прямоугольного треугольника \(OMA'\):
\[ \left(\frac{A'B'}2\right)^2=r^2-d^2, \]
поэтому
\[ A'B'=2\sqrt{r^2-d^2}. \]
Кроме того, \(AB\), \(A'B'\) и высота цилиндра \(h\) образуют прямоугольный треугольник:
\[ AB^2=h^2+A'B'^2. \]
Следовательно,
\[ \boxed{AB^2=h^2+4(r^2-d^2)}. \]
а) Найдём \(h\)
Дано:
\[ r=10\text{ дм},\qquad d=8\text{ дм},\qquad AB=13\text{ дм}. \]
Сначала найдём длину хорды \(A'B'\):
\[ A'B'=2\sqrt{10^2-8^2} =2\sqrt{100-64} =2\sqrt{36}=12\text{ дм}. \]
Теперь применим теорему Пифагора:
\[ AB^2=h^2+A'B'^2, \]
\[ 13^2=h^2+12^2, \]
\[ 169=h^2+144, \]
\[ h^2=25. \]
Так как высота положительна,
\[ \boxed{h=5\text{ дм}}. \]
б) Найдём \(d\)
Дано:
\[ r=5\text{ см},\qquad AB=10\text{ см}. \]
Используем общую формулу:
\[ AB^2=h^2+4(r^2-d^2). \]
Подставим известные значения:
\[ 10^2=h^2+4(5^2-d^2), \]
\[ 100=h^2+100-4d^2, \]
\[ h^2=4d^2. \]
Отсюда, поскольку \(h>0\) и \(d>0\),
\[ \boxed{d=\frac h2}. \]
В записанном условии пункта б числовое значение \(h\) пропущено, поэтому получить конкретное число для \(d\) нельзя. Какое значение \(h\) дано в пункте б)?
рисунок к задаче
Вот схематический рисунок к задаче (не в масштабе).
Обозначим \(A_0\) — проекцию точки \(A\) на плоскость верхнего основания цилиндра.
Вид сверху на основание
.-----------------------.
.-' '-.
.' A₀ ●────── M ──────● B '.
/ │ \
| │ d |
| │ |
\ ● O /
'. .'
'-._________________________.-'
Здесь:
- \(O\) — центр основания;
- \(A_0B\) — хорда окружности;
- \(OM=d\);
- \(OB=r\);
- \(M\) — середина хорды \(A_0B\).
Из прямоугольного треугольника \(OMB\):
\[ \left(\frac{A_0B}{2}\right)^2+d^2=r^2. \]
Вертикальное сечение
B ●
/│
/ │
AB / │ h
/ │
●────●
A A₀
A₀B
Здесь \(AA_0=h\), поэтому по теореме Пифагора:
\[ AB^2=h^2+A_0B^2. \]
Таким образом, рисунок показывает две основные зависимости:
\[ A_0B^2=4(r^2-d^2), \qquad AB^2=h^2+A_0B^2. \]
